오늘은 수학 1 지수 단원에서 심화 발표의 예를 하나 제시해 보겠습니다.
제목은 “지수의 확장-유리지수에 대한 심화 발표”.
유리지수를 사용하는 것에 대한 주의점이 심화 발표의 주제입니다. 그리고 황당하게도 3r-8=-2가 아니라 1+r3i라는 주장으로 끝맺습니다. 물론 수학적 근거를 제시합니다.
발표 내용은 크게 다음과 같습니다. 먼저 유리지수란 무엇인지부터 시작해야겠죠?
1. 유리지수의 정의.
a^n/m = m^ra^n. 그런데 a>0일 때만 사용가능.
a가 음수라면 다음과 같은 간단한 문제점을 찾아낼 수 있다.
3r-2=(-2)^1/3=(-2)^2/6=6r(-2)^2=6r4.
그런데 3r-2=-3r2, 즉 음수이기 때문에 등호는 성립할 수 없다.
두 번째로는 유리지수의 확장을 위해서 필요한 사전 개념들을 소개합니다. 복소평면과 다가함수라는 개념들입니다.
2-1. 사용되는 개념1-복소평면
하나하나의 복소수를 평면 위의 점에 대응시켜 생각했을 때 그 평면을 복소평면이라 한다. 간단히 그림으로 복소 평면이 무엇인지 보여주면 이렇다.
2-2. 사용되는 개념2-다가함수
다가 함수(多價函數, multivalued function)란 하나의 x값에 여러 개의 y가 대응하는 함수이다. 엄밀하게는 함수에 다가, 즉 여러 값을 붙이는 것이 말 자체가 되지는 않는다. 그런데 거듭제곱근이라는 개념이 사실상 다가 함수의 예라고 볼 수 있다.
그러면서 다음과 같은 세부 설명을 덧붙입니다. 예시를 해 보입니다.
4의 제곱근은 무엇일까?
x^2=4에서 +-2이다. 두 개의 값이 대응하고 있다.
8의 세제곱근은 무엇일까?
x^3=8에서 (x-2)(x^2+2x+4)=0.
잘 알려진 대로 정확히 세 개의 값이 대응하고 나타난다.
따라서 거듭제곱근 개념은 하나의 다가함수라고 생각할 수 있다.
마지막으로 이 함정을 이용해서 간단하면서도 엉뚱하고 그러면서도 논리적으로 재미있는 수학적인 등식 3r-8=1+r3i를 증명해 보면서 발표를 마칩니다.
3. 온라인 계산기
어떤 실수 a의 세제곱근을 구한다라는 것은 방정식 x^3=a를 푸는 것이다.
그런데 a가 실수가 아닐 때에는 어떻게 할까? 어쨌거나 방정식은 풀 수 있다.
예를 들어 8i의 세제곱근을 구한다. x^3=8i. 쉽게 -2i라는 근을 찾을 수 있다. 다른 근도 찾아 낼 수 있다. x=+-r3+i.
(x+2i)(x^2-2ix-4)=0
x^2-2ix-1=3 (x-i)^2=3
x=i+-r3
방정식의 근을 일일이 구하지 않고 계산기를 이용해 보겠다.
인터넷 검색에서 적당한 복소수 계산기를 하나 찾아서 사용하자.
https://www.hackmath.net/en/calculator/complex-number
8i의 세제곱근이 모두 나오고
이를 복소평면에 표시해 볼 수 있다.
이제 준비가 다 끝났으니 3r-8을 구하면 됩니다. 잘 알고 있듯이 3r-8=-2입니다. 왜 그렇죠? -2가 방정식 x^3=-8의 근이기 때문입니다. 세 개의 근 가운데 실수는 -2 뿐입니다.
그런데 여기서 관점을 확실히 바꾸어서 자신만의 주장을 만들어 가면 됩니다. 복소수의 입장, 복소수의 관점에서 생각해 보자고 관점을 돌리는 거죠.
복소수의 범위에서 보면 모두 똑같은 근입니다. 그런데 왜 -2를 선택한 거죠? 실수의 관점에서는 유일한 실수근 -2가 특수하지만 복소수의 관점에서는 특수할 것도 없습니다. 다 같은 복소수입니다. 예를 들어 방정식 x^3=8i에서는 실근이 없습니다. 선택의 문제가 됩니다.
이제 이 선택을 -2 가 아닌 다른 것으로 강요?하면 됩니다. 확실히 동의할 수 있는 것에서부터 시작하여 경로를 만들어 가는 것이 요점입니다.
4. 유리지수의 확장 = 복소수의 유리지수
그런데 3r8=2부터 시작하겠다. 너무나 확실한 등식이기 때문이다. 그런데
3r8+i의 값은 무엇일까? 계산기에 입력하면 역시 세 개가 나오는데 복소평면에서 보면 이렇다. 만약 8+i의 세제곱근 중에서 하나 선택하라고 하면 2에 가장 가까운 복소수를 선택해야 자연스럽다. //화면
이제 조금씩 옮겨가면서 선택하자. 여러 가지 경로를 선택할 수 있는데, 이런 경로를 선택해서 예시 해 보겠다. //그림
8i에서는 r3+i를 선택해야 한다. 가장 가깝기 때문이다. 그러면 -8에서는 1+r3i를 선택해야 한다. 가장 가까운 복소수는 -2가 아니다.
이와 같은 내용입니다. 이제까지 간단한 수학 1 발표 예시였습니다. 자세한 내용을 완성하여 발표를 준비해 보시기 바랍니다.