정수론이라고 하는 수학의 분야가 있습니다. 자연수의 성질을 연구하는 분야입니다. 소수에 대한 관심이 핵심 주제입니다. 그런데 정수론에서는 다음의 합에 관심이 많습니다.
바로 조화급수라고 부르는 것입니다.
1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n+…
조화급수 (harmonic series)라는 명칭은 음악의 화성학에서 유래되었는데, 사실 그 근원을 따라가 보면 피타고라스에 이릅니다.
이 조화급수에 대한 심화발표가 오늘의 주제입니다.
–1. 조화급수는 수렴하는가?
조화급수가 발산한다는 사실은 1350년 니콜 오렘이라는 사람에 의해 처음 증명되었으나, 이 발견은 오랜 기간 세상에서 잊혀졌었습니다.
우리에게 가장 잘 알려진 방법입니다.
1/3+1/4>1/4+1/4=1/2
1/5+1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8=1/2
1/9+1/10+…+1/16>1/16+…+1/16=1/2
…
이렇게 묶어서 생각하면 조화급수가 발산함을 쉽게 이해할 수 있습니다.
중요한 명제
급수가 수렴하면 일반항은 0으로 수렴한다는 명제의 역
일반항이 0으로 수렴하면 급수는 수렴한다(하는가?)
에 대한 가장 중요한 반례입니다.
자, 이 정도로는 주목을 끌 순 없으니 조화급수에 대한 좀 더 깊이있는 주장을 제시할 수 있어야겠죠?
–2. 조화급수의 근사식
적분을 이용하여 좀 더 정확한 조화급수의 관계식을 만들어 보겠습니다.
(lnx)’=1/x를 이용합니다.
다음 그림을 보세요.
그림으로부터 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n<1+\int_1^n1/xdx
또 \int_1^n+11/xdx < 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n
그러므로 ln(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+…+1/n<1+lnn
조화급수에 대한 좀 더 정확한 부등식을 얻었네요. 조화급수가 발산한다는 주장도 좀 더 쉽게 할 수 있게 되었습니다. 위와 같은 부등식을 수학에서는 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=lnn+O(1)이라고 표현한다고 합니다. 조화급수는 대략 ln n과 거의 비슷하게 움직인다는 뜻입니다.
이제는 새로운 것도 한 번 시도해 보죠.
–3. 교대조화급수
1-1/2+1/3-1/4+1/5+…+(-1)^n1/n+…는 수렴합니다.
다음과 같이 증명할 수 있습니다. 먼저 등비수열의 합 공식을 씁니다.
1-x+x^2-x^3+…+(-1)^nx^n=1-(-x)^n+1/1+x
즉
1/1+x=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^nx^n+(-x)^n+1/1+x
이 식을 적분합니다. 0부터 1까지 정적분합니다.
1/1+x=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^nx^n+(-x)^n+1/1+x
먼저 좌변은 \int_0^11/x+1dx=[ln(x+1)]_0^1=ln2
우변은 ….
그런데 문제는 \int_0^1 (-x)^n+1/1+xdx = (-1)^n+1 \int_0^1 x^n+1/1+xdx 입니다.
부등식을 이용합니다. 0<=x<=1일 때, 0<=x^n+1/1+x<=x^n+1
\int_0^1 x^n+1/1+xdx <= \int_0^1 x^n+1dx = 1/n+2
즉 0으로 수렴합니다.
따라서 1-1/2+1/3-1/4+1/5+…+(-1)^n1/n+…=ln2입니다.
이상 조화급수에 대한 심화 발표 내용 예시입니다. 뭔가 흥미로운 내용을 발견하셨나요? 아니면 뭔가 번뜩이는 실마리를 찾으셨나요?
내용을 보완하고 필요한 부분들을 완성하여 재미있는 발표를 준비해 보시기 바랍니다.