이차곡선은 원뿔곡선이라고도 합니다. 방정식의 관점에서 보면 x, y에 대한 이차식으로 나타내지기 때문에 이차곡선이라고 부르고, 기하학적인 관점에서 보면 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 단면으로 만들어지기 때문에 원뿔곡선이라고 부릅니다.
그림과 같이 직원뿔을 비스듬히 잘랐을 때 단면으로 생기는 곡선이 정확히 타원이라는 증명입니다.
증명의 원리는 단순하게도 두 가지.
한 가지는 한 점에서 구에 그은 접선의 길이는 모두 같다입니다.
구를 원뿔 안에 내접시킵니다.
원뿔면 위의 한 점에서 보면 원뿔의 꼭짓점과 연결한 모선이 정확히 구에 그은 접선입니다. 이게 또 한 가지입니다. 준비는 다 되었습니다.
이제 원뿔을 이렇게 평면으로 자르고 단면으로 생기는 곡선을 생각합니다.
이것이 타원일 수 있을까요?
먼저 촛점을 찾아야 합니다.
각각 구를 내접시키고 평면과 접하는 접점을 생각합니다. 이게 촛점이 됩니다.
단면 위의 임의의 한 점을 잡고 접점과 연결하면 접선입니다. 따라서 모선으로 만들어지는 접선의 길이와 같습니다. 따라서 두 접점에 이르는 거리의 합은 정확히 이 길이가 됩니다. 점 P의 위치에 상관이 없네요.
이와 같이 간단하게 타원임을 보일 수 있습니다.
다음의 그림들을 참조하여 여러 이차곡선에 대한 기하학적인 증명을 완성하고 발표해 보시기 바랍니다.
–1. 원통을 비스듬히 잘랐을 때
직원기둥을 비스듬히 자르면 자른 단면은 정확히 타원입니다.
촛점은 물론 구를 다음과 같이 내접시켰을 때의 접점들입니다.
–2. 무한히 긴 직원뿔을 한 모선에 평행한 평면으로 잘랐을 때
다음의 그림들을 참조하여 준선이 되는 직선과 촛점이 되는 점을 찾고 포물선의 정의에 정확히 들어맞음을 차례로 증명해 보세요.
–3. 두 개의 무한히 긴 직원뿔을 두 부분과 모두 만나도록 평면으로 자를 때
다음과 같이 잘랐을 때 생기는 한 쌍의 곡선은 정확히 쌍곡선입니다.
역시 두 초점을 쉽게 예상할 수 있습니다.
두 초점에 이르는 거리의 차는 무엇일까요?
열심히 접선을 그려봅니다. 결국 이 길이와 같음을 알 수 있습니다.
자세한 내용을 완성하는 것은 여러분에게 맡기겠습니다. 깊이 있고 흥미로운 심화 발표를 완성해 보세요.