소수무한성에 대한 보다 현대적인 증명을 소개하겠습니다.
여러 번 소개한 바 있는 수학자 오일러의 증명입니다. 조화급수를 생각합니다.
1+1/2+1/3+…
이것을 인수분해한다고 생각합니다. 먼저 각각의 소수를 이용하여 다음과 같은 등비급수를 만듭니다.
이제 다음 곱을 보시죠!
(1+1/2+1/2^2+…)(1+1/3+1/3^2+…)=1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+1/12+…
분모가 2 또는 3만을 소인수로 갖고 있는 모든 항들을 만들 수 있습니다.
그 다음은 무엇을 하려는 건지 짐작되시죠?
(1+1/2+1/2^2+…)(1+1/3+1/3^2+…)(1+1/5+1/5^2+…)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/8+1/9+1/10+1/12+…
…
그렇기 때문에 조화급수는 다음과 같이 인수분해됩니다.
그런데 등비급수에 대한 다음 공식을 기억하시나요?
1+r+r^2+r^3+…=1/1-r(-1<r<1)
이 공식은 간단히 다음과 같이 생각할 수도 있긴 합니다.
S=1+r+r^2+…=1+r(1+r+r^2+…)=1+rS
S=1/1-r
이 공식을 이용하면 등식은 다음과 같이 변형됩니다.
1+1/2+1/3+1/4+…=(1/1-1/2)(1/1-1/3)…
그런데 만약 소수가 유한하다면 우변의 곱은 유한한 소수들로 만들어진 항들의 곱으로 유한합니다. 그런데 좌변은 조화급수입니다. 바로 이 영상에서 조화급수의 발산에 대한 증명을 해 보인 적이 있습니다.
그러므로 소수는 무한합니다.
오일러의 접근 방법은 소수에 대한 해석적 접근의 시작이라는 점에서 그 뜻을 찾을 수 있습니다. 정수의 성질을 연구하는 접근법으로 실수의 성질과 미적분을 사용하는 방법이 해석적인 접근의 내용입니다.
<<쇼츠>>
조화급수( S=1/2+1/3+1/4+…. )에 대한 재미있는 주장을 증명해보겠습니다.
S=S+1이라는 증명입니다.
우선 다음 등식을 확인하시고요~
// 1/n(n+1) = 1/n-1/n+1
시작합니다.
// S=1/1 2 \times 1 + 1/2 3 \times 2 + 1/3 4 \times 3 + 1/4 5 \times 4 + …
=1 /12+1/23+1/34+1/45+…. = (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…
+1/23+1/34+1/45+… = (1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…
+1/34+1/45+… = (1/3-1/4)+…
…
=1+1/2+1/3+1/4+…
저의 생각이냐구요? 아닙니다. 베르누이 가문의 일원이자 오일러의 스승이었던
요한 베르누이가 1689년 발견하였습니다.
그런데 왜 이런 등식이 만들어지는지 아시겠나요?
바로 조화급수는 발산하기 때문입니다.