증명하지만 믿을 수 없다-300명 기념

4차원 세계로의 여행
정다포체에 대한 영상이 예상치 못하게 구독자 여러분들의 많은 관심을 받았습니다. 그래서 4차원 도형의 세계를 여행하는 기념 영상을 준비해 보았습니다.
가장 간단하게 이해할 수 있는 초입체는 정육면체로부터 만들어지는 정팔포체입니다. 이렇게 만들어 보았었죠?
이것을 이해해 보도록 하겠습니다.
아, 차원을 정의해야 하겠죠? 수학적인 영상이기에 간단하게 다른 변수의 값에 상관없이 정할 수 있는 변수 하나하나를 차원이라고 정의하겠습니다.
우리에게 익숙한 3차원에서 한 차원 위로 올라가 새로운 4차원의 세상을 살펴보는 일은 매우 도전적인 과제일텐데요, 먼저 2차원 여행자가 3차원의 세상을 여행할 때, 어떤 일을 겪을 지를 생각하면서 비유적으로 접근해 보겠습니다.
2차원의 정사각형으로부터 3차원의 정육면체를 만드는 것은 제 3의 축 시간축을 만들어 주~욱 끌어올리는 것이라고 생각하였었습니다. 2차원의 시간여행자는 이 상황을 어떻게 느낄까요?
처음에 가득 채워진 정사각형의 중심에 자신이 있습니다. 갑자기 가득 채워진 것은 사라지고 사각형의 테두리만 남습니다. 사각형의 테두리는 자신에게서 가까워지거나 멀어지지 않습니다. 그냥 그대로 있을 뿐입니다. 그리고는 갑자기 가득 채워진 정사각형 안으로 쑥 들어갑니다.
친구가 있습니다. 네 명의 친구들이 처음 정사각형의 각 변의 중점에 서있었다고 해보죠. 시간축을 따라 쭈~욱 끌어올리는 동안 이 친구들은 그 자리에 움직이지 않은 채로 있습니다.
3차원의 우리가 보기에는 어떤가요? 네 명의 친구들은 시간축을 따라 사각형을 횡단하고 있습니다. 그리고 그 동안 우리의 주인공은 바로 3차원의 영역, 2차원 입장에서는 초입체 영역이라고 할 수 있는 정육면체가 둘러싸고 있는 내부의 영역을 횡단하고 있습니다.
2차원의 여행자에게 이 상황을 정확히 이해시키기 위해서 색깔을 이용해 보도록 하겠습니다. 시간이 0일 때 주황색, 시간이 흘러서 1이 되면 보라색으로 표시해 보겠습니다. 2차원의 사람들은 시간축을 이해하지 못하기 때문에 색을 구분하지 못합니다. 한마디로 물체가 있다=검은색, 물체가 없다=흰색, 즉 완전한 흑백 색맹입니다.
3차원의 정육면체를 2차원의 사람이 생각합니다. 3차원의 우리가 느끼기에는 왜 그림자만 보고 있는거야라고 생각할 수 밖에 없습니다. 2차원의 사람은 여기에서 3차원의 내부를 찾을 수 없습니다. 이 부분 어딘가에 내부가 있는데 말이죠. 하지만 3차원의 사람에게는 이렇게 보입니다. 색깔이 다르기 때문에 겹쳐 보이지 않습니다.
이제 2차원의 시간 여행자의 입장이 되어서 3차원의 생물인 우리가 4차원으로 가보겠습니다. 정육면체를 끌어올려 정팔포체를 만드는 동안 우리는 언제나 검은색의 정육면체를 볼 뿐이지만 사차원의 생물은 색이 계속 달라지고 있다고 느끼겠죠?
또다시 친구들을 데려와 보겠습니다. 이번에는 여섯 명이 필요합니다. 3차원의 나에게는 친구들이 정육면체의 각 면의 중심에서 가만히 있다고 생각하지만 사차원의 사람에게는 이렇게 이동하는 것으로 보입니다.
6명의 친구들이 모두 말이죠.
이때 나는 바로 초입체의 영역을 횡단하고 있는 것이구요.
우리에게는 이렇게 보이지만 4차원의 생물에게는 이렇게 보입니다. 색깔이 다르기 때문에 겹쳐 보이지가 않고 그 안의 내부 영역을 볼 수 있습니다.
내부 영역에서는 사방이 입체의 벽에 막혀 있는 것으로 보이는 데 과연 어떻게 보일까요?
우선 이 네 개를 볼까요? z축과 t축이 만드는 평면에 나란하게 서서 90도씩 회전시키면 x축->y축->x축-y축으로 바뀌어 가면서 네 개의 정육면체가 자신을 둘러싸고 있는 것을 발견합니다.
모양을 조금 비틀고 다듬어서 생각하면 도너츠 모양인데, 이 입체가 자신을 둘러싸고 있음을 느낍니다. 나머지 네 개는 어떨까요? 이번에는 x축 y축이 만드는 평면에 나란하게 서서 보았을 때 90도씩 회전한 모습입니다. 똑같은 도너츠 모양이 역시 자신을 둘러싸고 있다고 느낍니다. 그러니까 이러한 두 개의 도너츠 모양이 자신을 완벽하게 둘러싸고 있다고 느끼는 것입니다.
x축y축이 만드는 평면에 수직하게 서면 이 방향의 도너츠가 자신을 둘러싸고, 누우면 이 방향의 도너츠가 자신을 둘러쌉니다. 신기하게도 우리가 이해하려고 하는 3차원의 벽은 두 개의 속이 꽉 찬 도너츠가 직각으로 서로를 물고 있는 모습입니다.
아니 도너츠 두 개로 어떻게 3차원을 가득 채우고 또 4차원의 전체 방향을 틀어 막을 수 있냐구요?
쉽지 않은 질문인데요…
3차원적인 벽을 먼저 생각해 보겠습니다.
3차원을 가득 채운 땅 속에 도너츠 모양으로 동굴이 있다고 생각하겠습니다. 빈 공간을 움직이는 벌레, ‘날라다녀’가 있고 땅 속을 움직이는 벌레, ‘기어다녀’가 있습니다. ‘날라다녀’는 두 종류의 원을 그릴 있습니다. 하나는 반지름을 0으로 줄일 수 있는 원과 그렇지 못한 원입니다. ‘기어다녀’는 어떻죠? 똑같습니다. 한 가지 차이가 있다면 ‘기어다녀’는 무한히 길게 두 끝이 서로 만나지 않는 직선을 그릴 수 있다는 사실 뿐인데요, 그래서 사실 점 하나가 더 필요한 겁니다. 그러면 빈 공간과 채워진 공간은 완전히 똑같습니다. 그래서 3차원은 도너츠 두 개가 맞물린 것입니다. 아니 3차원 더하기 점 하나죠.
날라다녀의 입장이 되어서 도너츠 모양의 중심을 따라 한 바퀴 돌아보겠습니다. 한 바퀴 도는 동안 기어다녀가 있는 도너츠는 수직으로 항상 날라다녀를 둘러싸고 있습니다. 가까워지거나 멀어지지 않아서 마치 기어다녀의 도너츠가 거꾸로 회전하는 것처럼 보입니다. 이 방향으로 말이죠. 날라다녀는 한 바퀴 돌았다고 생각했는데 두 개의 도너츠를 동시에 돌아버렸네요.
똑 같은 두 개의 도너츠가 직각으로 교차하고 있는 바로 이러한 3차원의 벽으로 둘러 싸인 내부에 초입체 영역이 있습니다.
이제는 초입체의 내부영역을 보다 자세히 이해해 보기 위해서 마지막으로 여행을 한 번 더 해보겠습니다.
대각선 방향으로 움직여 보겠습니다. 삼차원의 정육면체를 이해하려는 이차원 여행자는 대각선 방향으로 이동하면서
(출발)점->(점점 커지는) 정삼각형->육각형->정육각형->육각형->(점점 작아지는) 정삼각형->(도착)점을 보게 됩니다.
4차원의 정팔포체를 대각선으로 이동하는 3차원의 여행자는 어떤 입체들을 보게 될까요?
(출발)점->(점점 커지는) 정사면체->팔면체(삼각형과 육각형)->정팔면체->팔면체(삼각형과 육각형)->(점점 작아지는) 정사면체->(도착)점을 보게 됩니다. 만약 3차원의 여행자가 정팔포체의 중심에서 시간 축과 나란한 상태로 자신을 둘러싼 초입체를 본다면 정육면체(의 벽)를 보게 됩니다. 하지만 몸을 시간축과 비스듬히 하여 대각선 방향으로 초입체를 본다면 정팔면체(의 벽)를 보게 됩니다. 놀랍죠?