꾸준히 공부하는 학생들 중에서도 2,3등급에 머무는 학생들이 많아 스스로를 답답해 하는 경향이 있습니다. 1등급으로 올리는 비법은 무엇일까요?
크게 세 가지를 이야기해 보겠습니다.
첫째, 모델을 갖추고 요령을 피우자.
수학은 요령의 연속이 아닙니다.
요령을 쓴다고 해도 만약에 정확한 식이 필요한 상황이라면 식을 만들어 낼 수 있어야 합니다. 모델을 갖춘다는 말은 수학적인 모형을 갖추고 있어야 한다는 뜻입니다. 간단합니다.
첫 번째로 개념을 정확히 정리하고 있어야 하고, 반복해서 복기하면서 적용하는 연습을 끊임없이 해야 합니다.
두 번째로 기본적인 유형 문제를 정확하게 정리하고 있어야 합니다.
세 번째로 개념과 유형을 논리적 또는 합리적 순서에 맞게 배열하여 기억하고 있어야 합니다. 세 번째가 가장 중요합니다.
이런 기본기에 해당하는 부분이 공부와 연습의 핵심이 되어야 합니다. 문제마다 특수한 방법 위주로 공부하는 것은 겉보기에는 멋있어 보여도 큰 시험에서는 망하는 공부법입니다.
둘째, 나무를 보지 말고 숲을 보자.
나무에서 숲을 찾지 말고 숲에서 나무를 찾자라는 뜻입니다.
어떤 문제는 처음부터 끝까지 그 풀이를 정확히 기억하고 있는 경우가 있습니다. 숲은 개념이고, 공식입니다. 문제가 나무입니다.
문제들이 숲이고 개념, 공식이 나무인 것이 아닙니다.
문제만을 기억한다면 그 기억은 보통 오래 가지 못합니다. 잘 기억하고 있는 듯 하지만 얼마 지나지 않아 사라집니다. 새로운 문제가 머릿속에 들어오면서 밀어내기 때문이죠.
문제에 대한 기억은 문제에 대한 분석과 같이 했을 때에야만이 영속적인 장기 기억으로 전환됩니다.
첫 번째로 문제에 쓰여진 개념을 분해해서 살펴봅니다.
두 번째로 문제를 해석하고 접근하는 방법에 대해서 살펴봅니다. 다른 문제에 어떻게 적용되었었는지, 어떻게 적용 가능한지를 파악해 보고 그 방법들을 정리해서 기억합니다.
세 번째로 주어진 문제만의 특성을 찾아서 살펴봅니다.
개념과 공식으로 숲을 만들고 문제를 해석하고 분석하는 방법으로 숲의 길을 만들면 하나하나의 나무에 쉽게 접근할 수 있습니다. 나무가 문제입니다.
셋째, 잡초 근성을 마다 하지 말자.
길고 복잡한 풀이나 계산을 두려워 하지 않아야 한다는 뜻입니다.
다음 문제는 1997학년도 수능문제입니다.
집합 A= {1,2,3,4}의 네 원소를 배열하여 만든 순열 (a1, a2, a3, a4)에 대하여 각 숫자 ak의 오른쪽에 있는 수 중에서 ak보다 작은 것들의 개수를 sk(k=1,2,3)이라고 하고, 이들의 합 s1+s2+s3을 | (a1,a2,a3,a4) |로 나타내자. 예를 들면 | (2,4,3,1) |=s1 +s2 + s3 = 1+2+1 =4이다. 집합 A에 대한 24개의 모든 순열 (i1,i2,i3,i4)마다 각각 행해지는 |(i1,i2,i3,i4)|의 총합을 구하여라.
풀이를 보시죠.
방법1입니다.
두 개씩 짝을 짓습니다. 예를 들어 (2,4,3,1)과 (1,3,4,2)을 짝 짓습니다. 그러면 결국
1에 대해서 좌우=0, 2에 대해서 좌우=1, 3에 대해서 좌우=2, 4에 대해서 좌우=3
결국 6이 됩니다. 따라서 12묶음 곱하기 6 = 72가 정답입니다.
방법2입니다.
각각의 순열을 배열합니다.
그리고 s_1, s_2, s_3을 차례로 구합니다. 처음에는 엄두가 나지 않더라도 규칙성이 보이네요. 규칙성을 발견하면 계산도 쉽게 가능합니다.
그러면 역시 72가 나옵니다.
어떤 방법이 더 좋아 보이나요?
직관적이고 잘 짜여진 풀이는, 잘하는 학생이라 하여도, 항상 나올 수 있는 것이 아닙니다. 어떤 경우에는 길고 조잡해 보이는 풀이를 만들 수 밖에 없습니다. 또 문제를 처음 분석하는 순간에는 기초적인 시도도 해 보아야만 합니다. 길고 복잡한 풀이를 시도해 보지 않고 평소에 연습하지 않는다면 등급을 가르는 문제, 최상급의 문제를 만났을 때 제대로 문제에 접근할 수 없습니다.
놀랍고 천재적인 풀이만 찾지 말고 자신만의 접근법을 찾아야 합니다. 어떤 문제에 대해서는 다소 쳐지는 접근법일 수 있어도 걱정 마세요. 자신에게 유리한 문제가 있습니다. 거기에서 빛나는 능력을 발휘하면 됩니다. 문제마다 좋은 방법 만을 찾아다니기보다는 자신에게 맞는 방법으로 다양한 문제에 접근할 수 있으면 됩니다.
중요한 것은 모든 문제에 접근할 수 있느냐 없느냐 하는 관점입니다. 처음부터 모든 문제에서 다른 방법보다 뛰어난 방법을 찾을 필요는 없습니다. 모든 문제를 생각한다면 접근할 수 있느냐가 중요한 관점이고 뛰어난 방법을 생각한다면 일부의 문제에서 스스로 발견해 낼 수 있다면 충분합니다.
이상으로 세 가지를 말씀드렸습니다. 실력향상에 도움이 되기를 바랄께요~