이번 영상에서는 미적분 과목이나 기하 과목에서 발표할 만한 내용입니다. 물리 과목에서 발표할 수도 있구요. 바로 삼체 문제(three-body problem)입니다. 세 물체가 서로의 중력만으로 운동할 때 어떻게 운동할 것인지의 문제입니다. 이미 뉴턴이 1687년 근대 과학의 명저 “자연철학의 수학적 원리”에서 중력법칙을 설명할 때 이야기하였습니다. 단순할 거 같지만 물리학에서는 어렵기로 이름이 난 문제입니다.
먼저 이 문제의 보다 단순한 내용인 이체 문제(二體問題, two-body problem)를 다루어보겠습니다.
실제의 이체문제 풀이는 질량중심
질량 중심=질량위치+질량위치/질량합
을 이용하여 오직 하나의 물체만 있는 문제로 변형하고 나서 풀어갑니다.
두 물체만 있다고 생각했을 때 그들의 질량중심은 등속운동하며
그래서 질량중심과 같이 움직이는 관성좌표계를 생각하면 질량중심은 움직이지 않는 상황으로 변환됩니다.
적절한 운동 방정식을 만들고 그걸 풀어내면 물체의 운동을 완벽하게 짚어낼 수 있다는 것이 이체문제, 아니 사실 모든 역학 문제의 접근법입니다.
물체의 위치와 속도를 다음 그림과 같이 생각하겠습니다. 미소의 시간 dt동안 각도가 d\theta, 거리가 dr 만큼 변하였습니다.
먼저 물리적인 내용입니다.
첫 번째 에너지 보존법칙입니다.
1/2mv^2-GMm/r = E
처음은 운동에너지, 두번째 항은 만유인력에 의한 위치에너지이며 E는 상수입니다. 에너지 보존때문이지요. 편의상 m=2, GMm=2로 두겠습니다.
두 번째 케플러의 제 2법칙, 면적-속도 일정의 법칙입니다.
1/2 r^2 d\theta/dt = C_2
C_2=1/2이라 하겠습니다. 수를 정하는 것은 단지 계산을 간단히 하기 위해서 입니다.
다음 그림에서 속도에 대한 식을 얻을 수 있습니다.
(vdt)^2=(dr)^2+(rd\theta)^2
우겨 넣고 정리합니다.
(dr/d\theta)^2 = r^2(Er^2+2r-1)
이제 에너지 E의 부호에 따라서 물체의 운동이 결정됩니다. E<0 이면 작은 물체는 질량이 큰 물체의 중력을 벗어나지 못합니다. 만약 E=-3/4라면 다음과 같은 해가 얻어집니다.
r=1/(1+1/2cos\theta)
치환적분을 두 번 써서 직접 찾아도 되고 그냥 대입해서 확인해도 됩니다.
이것을 그림으로 그려볼까요? 지오지브라를 이용해 보겠습니다.
정확히 타원이네요.
E=0 일 때, E=3 일 때의 해를 직접 구해보면 작은 물체는 각각 포물선 궤도와 쌍곡선 궤도를 그림을 확인할 수 있을 거예요. 이 부분을 더 보완해서 세특 발표를 준비해 보세요.
자 그런데 더욱 놀라운 부분입니다. 뉴턴의 프린키피아 출간 이후 400년이 넘게 흘렀지만 삼체문제는 아직도 제대로 풀리고 있지 않다고 합니다. 심지어 앙리 푸앵카레라는 과학자는 1890년 삼체문제의 일반해를 구하는 것은 불가능하다는 것을 이야기하기까지 하였습니다.
사실 태양-지구-달의 운동만 해도 삼체문제입니다.
삼체문제도 불가능한데 태양계 전체의 운동은 어떨까요? 많은 행성과 소행성들의 운동까지 생각한다면 태양계의 행성들의 운동은 다루기가 더욱 어렵게 되는데요,
그렇기 때문에 태양계의 행성들의 궤도는 점차 카오스적인 운동을 보일 수가 있어서 태양이 폭발하기 전에 지구는 수성이나 금성, 화성과 충돌할 확률이 1%라고 합니다. 하지만 걱정 마세요. 진화의 역사를 보았을 때, 어떤 하나의 생물 종이 생존할 수 있는 기간이 최대 500만 년 정도 밖에 되지 않아 충돌한다 해도 그 전에 인류는 이미 멸종해 있을 가능성이 거의 확실하다니까요.
아, 무슨 영상이었죠?
삼체문제에 대한 세특 준비 영상이었네요…
현재의 이론 수준에서 삼체문제는 결국 컴퓨터에게 맡기는 수밖에 없습니다. 특수한 경우들의 해들을 수치해석의 방법으로 찾아내고 있는데 그 중에 몇 가지를 살펴 보면서 영상을 마무리하겠습니다.
다음은 자바실험실https://javalab.org/three_body_problem/에 나와 있는 영상들입니다.
자, 이제 위의 내용들을 바탕으로 자신만의 새로운 관점을 추가해서 좋은 발표 준비해 보세요~