오늘 소개할 책은 위대한 수학문제들입니다.
『위대한 수학문제들』은 수학난제 중 ‘세계 7대 난제’를 포함한 14가지 난제에 대해
문제가 나타난 이야기와 그 배경,
또 어떠한 과정을 거쳐서 풀어냈는지 아니면 풀어내고 있는지에 대한 과정, 그 과정에서 보여진 수학자들의 고민과 놀라운 시도들,
현재 어떤 단계에 이르렀는지를 자세하게 풀어낸 책입니다. 저자는 영국의 수학자인 이언 스튜어트입니다.
저자 이언 스튜어트 Ian Stewart는 영국 수학자이자 대중과학 저술가. 케임브리지대학교에서 수학을 전공하고 워릭대학교에서 박사학위를 받았다. 1995년 영국왕립학회에서 대중과학에 기여한 공로로 마이클 페러데이상을 받았고, 2002년 미국과학진흥회에서 과학대중화공로상을 받았다. 현재 워릭대학교 수학과 교수이자 왕립학회 특별회원이며, 지은 책으로는 ≪아름다움은 왜 진리인가≫, ≪미래의 수학자에게≫, ≪자연의 패턴≫, ≪플래터랜드≫, ≪천재들이 가지고 노는 수학책≫ 등이 있다.
열 네 가지의 문제들 가운데 해결된 문제도 있고, 해결되지 않은 문제도 있습니다. 해결되는 과정에서 논란을 불러일으킨 문제도 있습니다.
4장 지도 만들기 수수께끼에서 소개하고 있는 4색 문제는 임의의 지도를 4색으로 구분해서 칠할 수 있느냐 하는 문제입니다. 이 문제는 1976년 2000개 쯤의 가능한 상황을 컴퓨터를 통해 최종 확인하여 증명이 완성되었기 때문에 컴퓨터를 이용한 최초의 증명 문제로 불릴 수 있는 문제입니다. 저자는 다음과 같은 수학자들의 반응을 소개하고 있네요.
전체적으로 수학에 깊이 관심을 가진 학생들이 볼 수 있는 책이라 생각됩니다.
오늘 자세히 소개하고 싶은 내용은 17장 미래를 위한 12가지 문제입니다. 수학의 미해결 문제는 대부분의 사람들에게는 고통일 수 있어도 누군가에게는 호기심과 매력의 대상일 수 있습니다.
그래서 그중 몇 가지를 소개하겠습니다.
첫 번째는 브로카의 문제입니다.
n!+1이 제곱수가 되는 경우는 다음 세 가지 이외에 존재할 것인가?
4!+1=25=5^2
5!+1=121=11^2
7!+1=5041=71^2
두 번째는 홀수인 완전수가 존재할 것인가?
완전수에 대해서는 이 영상에서 소개한 적인 있습니다.
세 번째는 콜라츠 추측입니다. 수를 나열하는데 다음과 같은 규칙으로 나열합니다.
a_n+1 = 3a_n+1(a_n이 홀수일 때)
a_n/2(a_n이 짝수일 때)
시작이 되는 처음 자연수를 어떤 수로 하던지 간에 결국은 1로 내려올 것인가가 문제입니다. 간단하지만 쉽지 않습니다. 12에서 시작해볼까요?
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1
그런데 27에서 시작해 볼까요?
27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
최고 9232까지 올라갔다가 최종적으로는 무려 111번의 단계를 거쳐야만 1에 도달합니다.
과연 무한으로 커지는 경우는 없을까요? 아니면 1보다 큰 수들끼리 순환하는 경우는 없을까요?
네 번째는 완전직육면체의 존재여부입니다.
피타고라스 정리의 3차원 꼴인데 모든 모서리 모든 면 대각선, 그리고 입체의 대각선이 모두 자연수인 직육면체가 존재할 것인지 입니다. 완전한 평행육면체는 존재한다고 합니다. 모서리의 길이는 각각 271, 106, 103이며 면 대각선 중 짧은 것들의 길이는 101 266 255이고, 면 대각선 중 긴 것들의 길이는 183 312 323, 입체의 대각선 길이는 각각 374 300 278 272입니다. 2004년에서야 존재한다는 논문이 발표되었습니다.
아홉번째는 랭턴의 개미입니다. 1986년 창안된 이 문제는 매우 간단한 규칙으로 움직이지만 복잡한 행동 양식을 보여주는 복잡계의 한 예입니다. 정사각형 격자들이 무한히 있고 개미 한 마리가 그 곳에서 다음과 같은 규칙으로 움직입니다.
흰색 사각형에서 시계 방향으로 90° 회전하고 사각형의 색상을 뒤집고 한 단위 앞으로 이동합니다.
검은색 사각형에서 시계 반대 방향으로 90° 회전하고 사각형의 색상을 뒤집고 한 단위 앞으로 이동합니다.
처음에는 모두 흰색의 사각형에서 시작합니다. 처음에 시계방향으로 90° 회전하고 한 칸 이동합니다.
또 시계방향으로 90° 회전하고 한 칸 이동합니다.
이렇게 계속하면 어떻게 될까요? 간단한 규칙이라서 그냥 무작위적인 움직임을 보일 것 같지 않나요? 그런데 놀랍게도 어느 정도 단계가 지나면 104단계를 주기로 사선 방향의 움직임을 일정하게 보인다는 것이 확인됩니다. 처음에 시작하는 사각형의 색을 무작위로 정해서 시작해도 항상 그와 같은 운동 양식이 나타날까? 라는 것이 랭턴의 개미 문제의 내용입니다.
열 한 번째는 페르마-카탈란의 문제입니다.
x^a+y^b=z^c의 자연수 해가 존재할 것인지에 대한 문제입니다. 유명한 페르마의 마지막 정리에 대한 문제를 일반화한 것이라고 할 수 있네요.
다음과 같은 관계식은 모두 열 개의 경우가 알려져 있는데 과연 그것들이 전부인지에 대한 문제입니다.
2^5+7^2=3^4
마지막 열 두 번째 문제는 ABC 추측입니다. 서로소인 두 자연수 a, b에 대하여
a+b=c인 경우를 생각합니다. 그러면 a,b,c는 모두 서로소이게 됩니다. 여기에서 ABC 추측을 간단히 말하자면 이 등식에 나타나는 소인수들의 곱이 c보다 큰 경우는 유한하다는 것입니다.
예를 들면 3 + 125 =128과 같은 등식을 보면 등식에 나타난 수들의 소인수는 모두 3, 5, 2뿐인데요, 이들의 곱=30은 c=128보다 작습니다. 이런 상황은 오히려 드문 상황으로 유한한 경우 뿐이고,
15+14=29
17+55=72=2^3 3^2
와 같이 등식에 나타난 소인수들의 곱은 우변에 있는 c값보다 크게 되는 것이 일반적이라는 뜻입니다.
단순하지만 굉장히 강력한 의미를 갖는 문제라서 점점 관심이 모아지고 있는 문제입니다.
수학에 깊이 관심을 갖고 있는 학생들이라면 읽어볼 수 있는 책입니다. 아, 한 가지만 더 말하고 수학세특 추천 도서 내용을 마치겠습니다. 앞으로 수학 이론을 전공하고 싶은 학생들이라면 코딩을 충분히 공부하라고 권하고 싶네요.