저번 영상에서는 평면을 채우는 곡선에 대해서 소개하였습니다. 페아노라는 수학자가 처음 평면을 채우는 그러면서도 연속인 함수를 처음 만들어 낸 이후 평면이나 공간을 채우는 곡선들을 페아노 곡선이라고 부르게 되었습니다. 그런데 저번 영상에서 소개하였던 곡선은 정확하게는 힐베르트 곡선입니다. 힐베르트가 변형한 방식이었던 거죠.
오늘 영상에서는 다양한 페아노 곡선들에 대해서 소개해 보도록 하겠습니다. 그러면서 어떻게 하면 평면을 채워갈 수 있을지 같이 생각해 보는 시간을 가져봤으면 좋겠네요.
페아노가 처음 만들었던 꺾은 선 도형은 정사각형을 구등분하는 것으로부터 시작합니다.
정사각형을 구등분하고 그 중심에 해당하는 점들을 연결합니다. 예를 들어 이렇게 리을자를 돌려 놓은 듯한 모습으로 시작해 보겠습니다.
이제 그 다음은 어떻게 해야 하나요? 지난 번 영상에서 말씀드린 바와 같이 평면을 채워가면서도 연속인 함수를 만들기 위해서는 다음 단계의 그림이 직전 단계의 꺾은 선 도형을 배반(?)하지 말아야 합니다.
즉 각각의 조그만 정사각형을 다시 구등분하여 다시 리을자를 그려나갈 때 리을자들을 원래의 정사각형을 벗어나지 않게 그릴 수 있어야 하고 또 이 리을자들이 잘 이어져야 합니다.
조그만 리을자를 이렇게 그렸다면
그 다음은 어때야 하나요?
이렇게 그려져야 합니다.
차례차례 예상이 되시죠?
혹시 자기유사성이라고 들어보셨나요? 기본 도형을 반복해서 사용하기 때문에 자기유사성이 나타나는데 지금 우리한테 중요한 것은 연속성을 만드는 것이니 그것에만 집중해야 합니다.
다양한 방식으로 평면을 채워갈 수 있으니 여러 방법들을 찾아보세요. 몇 가지를 소개해 보겠습니다.
이렇게 채워가는 것도 가능하고,
이렇게 채워가는 것도 가능합니다.
경로를 완전히 다르게 하여 이렇게도 가능하답니다.
이번에는 새로운 기본도형으로 평면을 채워볼까요? 페아노의 방법은 정사각형을 구등분하자라는 관점이 기초인데 새로운 페아노 곡선입니다. 왼쪽 아래 꼭짓점에서 시작하여 차례로 대각선을 연결해 갑니다.
이제 다음 단계에서는 작은 정사각형의 대각선 방향으로 같은 도형을 조그맣게 그려가면 됩니다. 예상되시죠?
저번 영상에서 중점적으로 소개하였던 곡선은 힐베르트 곡선이라고 불리는 페아노 곡선의 한 종류이며 정사각형을 4등분해 나가면서 평면을 채웁니다.
정사각형만 채울 수 있지 않습니다. 어떤 도형이든지 채울 수 있는데 간단히 삼각형 채워볼까요?
직각이등변 삼각형입니다.
과연 가능할까요?
어때요? 차례차례 채워갈 수 있겠죠? 어떤 도형이든지 채워갈 수 있답니다.
이제는 3차원으로 가볼까요? 당연히 가능합니다. 정확한 그림을 그리기가 힘들어서 보기에 많이 불편하시더라도 방법은 충분히 전달되었기를 바랄께요.
차원을 무시하는 듯한 이런 곡선들을 통해서 차원 개념에 대한 깊은 생각의 계기가 되었기를 다시 한 번 바랍니다. 다음 영상에서 뵐께요~