선형대수1 행렬과 행렬의 곱셈
행렬이란? 행렬(Matrix)이란 수를 직사각형 모양으로 배열한 것을 의미한다. 수는 대부분의 경우 실수이지만, 복소수일 수도 있고 더 나아가 다항식일 수도 있으며 심지어 또 다른 행렬일 수도 있다.
사각형의 가로 줄을 행 row, 세로 줄을 열column 이라고 부른다.
m 행, n 열로 구성된 행렬을 간단히 m×n 행렬이라 한다. 이렇듯 행렬 안에 배열된 구성원을 성분(항, 원소, entry, component, element) 이라고 합니다. 이런 성분을 표현할 땐 소문자를 사용하는데요. 행렬을 A라고 이름 붙였다면 그 성분들은 a_ij로 표시합니다.
성분을 표현할 때 소문자를 쓰는 방법 외에도 (1, 2) 이렇게 해서 1행 2열 이라고 사용하기도 합니다.
m x n 행렬을 미지수로 표현할 땐 괄호를 사용해서 aij 성분으로 이루어진 행렬이다 라고 해서 (aij)m x n 또는 (aij) 이렇게 표현합니다.
행렬은 왜 생겨났나.
가장 큰 이유는 연립방정식을 풀면서라고 할 수 있습니다. 그 중에서도 특히 일차연립방정식.
선형대수에서 선형이라는 것은 직접적으로는 직선의 라는 뜻을 가지고 있는데 직선을 방정식으로 나타내면 일차식으로 표현되기 때문에 일차식의 일차식의 성질을 갖는 정도로 생각할 수 있답니다.
연립방정식에서 미지수의 순서를 고정시킨다. 그러면 계수들만을 쓰면서 간단하게 연립방정식을 다룰 수 있다. 그러면서 계수들 사이의 관계에 의해서 연립방정식의 해, 해의 구조가 결정된다라는 사실을 발견했다.
예를 들어 2x+3y=7
3x+4y=10
이라는 연립 방정식 해는 유일하며 (2,1)이다. 그런데 7, 10을 예를 들어 3, 5로 바꾼다고 하자. 그러면 해는 (3, -1)이다. 이전과 같은 해가 얻어질 수는 없겠지만 해가 유일하다는 사실은 변하지 않는다. 더구나 해를 구하는 과정도 똑같다.
…
모든 것이 계수에 의해서 결정된다.
이번에는 2x+3y=7
4x+6y=10
을 본다. 해는 없다. 해는 무한하거나 없다. 유일한 해는 얻어지지 않는다.
그래서 계수만을 따로 떼어내서 연립방정식을 분석할 필요가 발생하였다…
행렬의 연산 덧셈과 뺄셈, 실수배에 대해서는 당연하다는 생각이 든다. 별 다른 이견이 없다. 그런데 곱셈은 왜 그 모양?… 간단히 이렇게 하면 안될까? 그런데 이렇게 하면 재미가 없다. 수학적으로 의미 있는 다양한 성질들이 나타나지 않는다.
여러가지 이유가 있다. 함수의 합성과 관련이 깊다.
가장 중요한 이유로는 대칭이동과 회전이동을 포함한 다양한 변환과 관련이 있다.
일차변환이라 한다. 두 개를 합성해 보자.
희한하게도 이런 방식의 계산은 다른 곳에서도 찾아 볼 수 있다.
분수함수 를 행렬로 표현할 수 있다. 그런데 두 개의 분수함수를 합성해 보자.
여기까지가 선형대수, 그러니까 행렬에 대한 가장 기초적인 부분이라 할 수 있는 내용입니다. 여러 내용을 추가해서 좋은 세특 작성해 보시기 바랍니다.