공간 풀이법: 어긋나는 부분을 찾아 일치시켜라
첫 번째로는 적분의 의미를 적용합니다. 적분의 기본적인 뜻은 무엇입니까? 부호 붙인 넓이(signed area)입니다.
두 번째로는 뭐죠? ….미적분학의 기본정리입니다. 그런데… 이 공식은 언제 가능합니까?… 바로 함수 f가 연속 함수일 때입니다. 다시 말해서 지금은 절댓값을 직접 미분하는 상황은 아니라는 거죠!
F'(x) = |f(x)|라 하면 적분은 시야에서 사라집니다. 잠시 동안이지만요. 그리고 이제 절댓값만을 상대하면 됩니다.
간단한 치환적분 문제입니다. 세 번째의 단계가 되네요.
공간 학습법: 충돌하는 개념을 찾아라
문제에서 앞뒤가 안 맞는 부분이 있다고요?
두 가지 원인이 있습니다.
한 가지는 문제를 이해하고 있지 못하기 때문입니다.
인식의 충돌입니다.
또 한 가지는 문제 자체가 충돌하는 개념을 제시하고 있기 때문입니다.
개념의 충돌입니다.
인식의 충돌, 개념의 충돌이 일어나는 부분을 적극적으로 찾아야 합니다.
그 부분을 해결하는 것이 바로 문제를 푸는 핵심이기 때문이죠.
미적분 단원에서는 자주 다루어지는 변형문제가 바로 절댓값 문제입니다.
절댓값을 취하는 조작은 간단한 작업입니다.
그런데 이때 개념의 어긋남이 생깁니다.
왜 그렇습니까?
절댓값 함수는 직접 적분 계산이 되지 않습니다. 또 직접 미분 계산을 할 수도 없습니다.
그래서 절댓값 기호를 처리하고 나서야 미분이나 적분 계산을 할 수 있습니다.
번거로워지면서 복잡해질 것이라는 두려움이 선뜻 손이 나가는 것을 막게 되는군요.
어떤 충돌이던지 간에 그것이 발생하는 부분을 정확하게 추적해서 해결해야 합니다. 서로 어긋나는 부분을 찾는 것이 문제 분석의 시작입니다.
인식의 충돌이라면 문제와의 대화를 지속적으로 시도해야 하겠고,
개념의 충돌이라면 개념의 충돌이 일어나는 바로 그 지점부터 문제 풀이를 계획해야 합니다.
어긋나고 충돌하는 부분을 찾아냈다면 그것을 해결해 나가는 것이 결국 문제 풀이의 과정입니다.
사실 공식을 정확히 이해한다면 개념의 충돌은 대부분 인식의 충돌입니다.
이 문제도 결국은 인식의 충돌이었던 셈입니다.
오늘은 여기까지 입니다. 다음에 더 재미있는 문제로 만나겠습니다!