23. 다음 조건을 만족시키는 모든 이차 다항식 P(x)의 곱을 Q(x)라 하자.
(가) P(0)=0
(나) 사차 다항식 P(x+1){P(x+1)-6}은 x(x-3)으로 나누어 떨어진다.
Q(x)를 x-2로 나눈 나머지를 구하시오.
공간 풀이법 : 경우를 나눈다
x이라는 인수는 P(x+1)나 P(x+1)-6에 들어있어야 합니다. x-3 마찬가지입니다. 네 가지 경우가 생깁니다.
(1) x | P(x+1), x-3 | P(x+1) P(1)= 0, P(4)=0 이미 P(0)=0이라서 모순이네요.
(2)x | P(x+1), x-3 | P(x+1) -6 P(1)=0, P(4)=6 P(x) = ax(x-1) a=1/2
(3)x | P(x+1) -6, x-3 | P(x+1) P(4)=0, P(1)=6 P(x)=ax(x-4) a=-2
(4)x | P(x+1)-6, x-3 | P(x+1)-6 P(1)=6,P(4)=6 P(x)=a(x-1)(x-4)+6 a=-3/2
Q(x)=3/2 x^3 (x-1)(x-4)(x-5)
공간 학습법 : 자신의 답안을 비판적으로 검토하자.
오늘 하고 싶은 이야기는 실수를 찾는 법, 다시 푸는 법에 대한 이야기입니다. 이 문제는 어렵다면 어렵고 쉽다면 쉬운 문제입니다. 중간에 잡다한 계산이 많아서 실수하기가 쉬운 문제이기도 합니다.
보통 학생들은 실수가 나타났을 때,
답이 나오지 않았을 때,
처음부터 다시 풀곤 합니다. 자신이 이미 만들어 놓은 답안을 다시 보는 것을 싫어합니다. 아니 정확하게는 힘들어 하고 심지어 두려워합니다. 왜 그럴까요?
첫 번째로는 자신의 답안을 이해하지 못하기 때문입니다. 두 번째로는 말려들기 때문입니다. 자신이 써놓은 답안을 살펴보고 있으면 그 생각에 그대로 빨려 들어가서 잘못된 부분을 찾아내기는 커녕 그 풀이에 수긍하게 되는 경우가 많다고 합니다.
나쁜 습관입니다. 바쁜 시험 시간에 처음부터 다시 푸는 것은 시간 관리상 다른 문제를 포기하는 것과 같습니다. 좀 더 핵심적인 이유가 있습니다. 자신의 생각을 들여다 볼 수 있어야 합니다. 자신의 풀이를 들여다 보지 못하는 것은 자신의 생각을 검토해 내지 못하는 것입니다.
문제 풀이의 본질이 무엇입니까? 자신의 생각을 문제의 조건에 맞춰 가는 것입니다. 문제의 조건을 자신의 생각에 맞춰 가는 것입니다. 문제 풀이의 첫 단계에서 떠올렸던 처음의 생각을 차례차례 수정해 나가고 명확히 해 나가는 과정이 바로 문제풀이의 본질입니다.
그렇기 때문에 문제 풀이의 과정을 비판적으로 검토할 수 있어야 하는 것은 문제 풀이에 대한 핵심적인 연습에 해당합니다. 어떻게 해야 하냐구요? 문제 풀이 과정을 구조화하고 사고의 과정을 구조화해야 합니다. 공간 풀이법, 공간 학습법이 필요한 이유입니다.
오늘은 여기까지입니다. 다음에 더 좋은 문제로 찾아 올께요!