2022 세화고 1-1 중간 기출 변형
첫째 문제
16. 두 다항식 f(x)=x^3+ax^2+bx+c와 g(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 실수 a, b, c에 대하여 a^3+b^2+c의 값은?(단, i=r-1, k는 자연수이고 다항식 g(x)의 계수와 상수항은 모두 정수이다.)
(가) 모든 실수 x에 대하여 f(x)=(x+k)g(x)이다.
(나) 다항식 f(x)를 x-2로 나눈 나머지는 -3이다.
(다) 방정식 g(x+i)=k+4g(2)의 한 근은 k이다.
공간 풀이법 :나머지 정리와 부정 방정식
풀이의 공간으로 갑니다.
나머지 정리(글 상자)
(나)에서 f(2)=-3입니다.
(가)에서 (2+k)g(2)=-3입니다. 그런데 g(2)의 값은 정수네요.
<——- 다항식 g(x)의 계수와 상수항은 모두 정수
(2+k)가 자연수이므로 부정방정식입니다.
k=1, g(2)=-1입니다.
복소수 상등의 정리(글 상자)
(다)에서 g(1+i)=-3이며 g(x)=x^2+px+q꼴이어야 한다는 것을 생각하면 직접 대입하여 계산 가능합니다.<——- 다항식 g(x)의 계수와 상수항은 모두 정수
(1+i)^2+p(1+i)+q=-3
(p+q)+(2+p)i=-3
즉 g(x)=x^2-2x-1입니다.
f(x)=(x+1)(x^2-2x-1)=x^3-x^2-3x-1 정답 = 7
공간 학습법: 개념과 유형을 이용해서 풀자(2).
중간중간 유형을 잡아낼 수 있어야 합니다.
이전 영상에서 한 번 이야기한 적이 있습니다.
관련된 공식이나 개념을 차례차례 떠올리면서 말이죠.
문제풀이를 단순한 계산의 연속이 아니라 개념의 흐름으로 만들고 관련된 공식의 연결로 만들어야 합니다.
계산을 단지 계산으로 여기지 않고 계산의 의미를 파악하면서 문제를 풀자 입니다.
둘째 문제
21. 이차 방정식 x^2-3x+5=0의 두근 a,b에 대하여 최고차항의 계수가 1인 이차 함수 f(x)가 f(a^3/3-4/3 a^2 +5/3 a +7/3)= -10/a +6b와f(b^3/3-4/3 b^2 +5/3 b +7/3)= -10/b +6a 를 만족시킬 때, f(2024-71x)=0의 두 근의 합을 구하시오.
공간 풀이법: 공통형태에 착안하자.
조건과 목표를 분리하면서 풀이를 시작합니다.
먼저 동일한 형태에 착안합니다.
다음 두 식의 의 형태가 똑같습니다.
f(a^3/3-4/3 a^2 +5/3 a +7/3)= -10/a +6b과 f(b^3/3-4/3 b^2 +5/3 b +7/3)= -10/b +6a
좌변과 우변을 각각 정리해 보겠습니다. <—–근계관
좌변에서는 x^3-4x^2 +5x +7 형태의 식이 나옵니다. 직접 나누어 본 결과
x^3-4x^2 +5x +7 = (x^2-3x+5)(x-1)-3x+12
이 나옵니다. 이 식은 항등식이며 a,b를 대입할 수 있습니다.
a^3-4a^2 +5a +7 = (a^2-3a+5)(a-1)-3a+12=-3a+12
a^3/3-4/3 a^2 +5/3 a +7/3 = -a+4네요. 마찬가지로
b^3/3-4/3 b^2 +5/3 b +7/3 = -b+4입니다.
한편 우변에서는
(–> 글로 바꾸어 표시) ab=5 <—–근계관
-10/a +6b = 4b, -10/b +6a= 4a를 얻습니다.
대입할까요?
f(-a+4)=f(b+1)=4b <—- 근계관
f(-b+4)=f(a+1)=4a
즉 방정식 f(x+1)=4x의 두근이 a,b입니다. 이차항의 계수가 1이기에 두 방정식f(x+1)-4x=0과 x^2-3x+5=0은 일치해야 합니다.
f(x+1)-4x= x^2-3x+5
f(x)=(x-1)^2+(x-1)+5=x^2-x+5
그런데 마지막까지 숨 쉴 틈을 주지 않는 문제이군요.
직접 계산하기는 힘들어서 요령을 피워 보겠습니다.
이차방정식의 변형과 근
f(x)=x^2-x+5=0의 두 근 p, q
p+q=1
f(2024-71x)=0의 두 근
2024-71x=p, 2024-71x=q
x=2024-p / 71, 2024-q / 71
두 근의 합은 4048-(p+q) / 71 = 57입니다. 드디어 답이네요.
공간 학습법: 다양한 기술을 익히자.
솔직하게 이 문제는 너무 골탕 먹이려는 의도가 다분히 있는 문제네요.
세 가지 부분에서 그렇습니다. 첫 번째 공통부분 1/3 (x^3-4x^2 +5x +7) 형태에서 그렇습니다. 두 번째 공통부분 -10/a +6b형태에서 그렇습니다. 세 번째 공통부분 2024-71x 형태에서 그렇습니다. 저 세 공통부분을 직접 처리하기는 어렵습니다. 직접 계산한다면 시간이 한도 없이 걸립니다.
여러 가지의 잔 기술들을 익히고 있어야 합니다.
x^3-4x^2 +5x +7를 처리하는 방법에는 위에서 소개한 방법 말고도
x^2 = 3x-5임을 이용하여
x^3=3x^2-5x=3(3x-5)-5x=4x-15
x^3-4x^2 +5x +7= 4x-15-4(3x-5)+5x+7=-3x+12
처럼 처리할 수도 있습니다. 차수를 낮춘다라는 관점을 적용한 것이죠.
세 번째의 공통부분 2024-71x를 처리하는 것은 중요한 유형이니 정확히 사용할 수 있도록 해야 합니다. f(x)=0의 한 근이 x=p라면 f(2024-71x)=0의 한 근은 2024-71x=p인 x이어야 합니다. 쉽게 이해되나요?
복잡한 문제를 간단하고 쉽게 풀 수 있기 위해서는 여러 가지 잔 기술들을 익히고 정리하고 있어야 합니다.
오늘은 여기까지입니다. 다음에 더 좋은 문제로 찾아올께요.