고대 그리스 수학에서 가장 이름 있는 증명이라면 당연히 피타고라스 정리겠죠?
너무도 잘 알려져 있어서 그냥 넘어가려고 했는데 한 가지 오해는 바로잡아야 하겠기에 간단히만 이야기해 보겠습니다.
피타고라스정리의 증명 방법은 루미스(Elisha S. Loomis)는 20세기 초에 피타고라스 정리의 증명방법만을 모은 책을 발간했는데, 이 책에는 무려 367가지의 증명방법이 소개되고 있다고 하네요. 이제는 400가지가 넘는다고 합니다.
그 중 몇 가지만을 소개해 보겠습니다.
이 그림은 피타고라스가 처음 증명에 성공했다는 바로 그 그림입니다.
다음으로는 인도의 수학자 바스카라의 방법입니다. 이미 소개한 적이 있죠?
레오나르도 다 빈치도 이름을 올리고 있습니다.
중국의 수학에서도 피타고라스 정리가 구고현의 정리라는 이름으로 등장합니다.
주비산경이라는 책에 등장하는 그림입니다. 주비산경은
일부의 내용은 주나라가 건국되던 기원전 11세기에 만들어진 것으로 생각되지만 춘추전국 시대를 거치면서 많은 내용들이 추가되어 현재의 형태로 집대성된 것은 빠르면 기원전 2세기 무렵으로 추측됩니다.
유클리드의 원론이 기원전 3세기 무렵에 집필되었는데 시기상 주비산경과 비슷하다고 할 수 있겠네요. 당대 이전의 수학적인 업적이 집대성되어 있다는 점에서도 비슷합니다.
그런데 구고현의 정리에 해당하는 내용은 주 왕조의 초기에서부터 전해진 내용으로 추측됩니다. 피타고라스보다 500년 앞서는 거죠.
하지만 이것을 증명으로 볼 수 있을까요?
발견되지는 않았지만 고대 근동의 메소포타미아 문명에서도 이런 정도의 그림은 알려졌으리라고 추측해 봅니다. 그럼에도 불구하고 단지 이 그림들이 존재한다고 해서 그것을 증명으로 볼 수 없는 이유를 말해보겠습니다.
다음 화면을 잘 보시기 바랍니다.
단지 도형을 옮겼을 뿐인데 갑자기 비어있는 부분이 나타났습니다. 왜 그럴까요? 어떤 상황인지 알아차리셨나요?
그렇기 때문에 그림에 의한 직관적인 증명은 한계가 있습니다.
따라서 피타고라스가 증명을 발견한 것은 이런 그림을 발견하였다는 사실에 있는 것은 아닙니다. 절대 아닙니다.
피타고라스가 증명한 것은 다음과 같은 사실이 아닐까 추측해 봅니다.
직각은 일직선이 이루는 각, 즉 평각을 이등분한 것이다.
직각삼각형의 직각이 아닌 두 각의 합은 직각과 같다.
이전 영상에서 탈레스가 증명했다고 하는 다섯 가지의 명제 중에 다음 두 가지를 기억하시나요? 탈레스의 명제를 사용하면 직각삼각형의 성질이 정확히 설명됩니다.
피타고라스는 이 정의와 명제를 정확히 언급함으로써 직각삼각형의 성질에 대한 증명을 완성했다고 당대의 그리스 여러 현인들에게 인정받지 않았을까 저는 감히 생각해 봅니다.
그리고 직각삼각형에서 더욱 나아가서 그 명제의 내용을 임의의 삼각형으로까지 확장하여 임의의 삼각형 내각의 합은 2직각과 같다라고 한 것이 유클리드의 공로로 추측합니다.
원론 1권 명제 32 임의의 삼각형 내각의 합은 2직각과 같다.
별거 아닌 것 같지만 단순히 “임의의” 라는 단어 하나 붙이는 데에 200년 넘게 걸렸습니다. “평행”이라는 어려운 개념이 정리가 되어야 했기 때문입니다.
유클리드의 세련된 방법은 이 평행 개념을 바탕에 깔고 있습니다. 이 그림은 아랍 문화권에 전해질 때에는 신부의 의자라고 알려졌다고 합니다. 이 방법을 감상하면서 오늘 영상을 마치겠습니다.
//쇼츠//
피타고라스 정리 잘 아시죠?
피타고라스가 직각삼각형의 성질에 대한 피타고라스 정리를 증명하면서 사용했다는 그림입니다.
일부의 사람들은 피타고라스가 이 그림을 발견한 것에 의미를 두고 있습니다.
이 그림을 발견한 것이 곧 증명이라는 주장을 하는 거죠.
잘못입니다.
이런 그림이라면 이전의 문명권에서 한참 전에 벌써 발견되었습니다.
이 그림으로 완벽한 증명을 바로 떠올릴 수 있는데 왜 증명이 아니라는 거냐구요?
다음 그림을 보시죠!
아시겠나요?
저 빈 곳은 도대체 어디에서 나타난 것일까요?
피타고라스의 증명, 그 중에서도 핵심은 직각삼각형의 직각이 아닌 두 각의 합은 직각과 같다는 명제를 밝혀냈다는 것에 있다고 감히 추측해 봅니다.
피타고라스는 아마도 탈레스가 증명한 명제들을 이용했을 것입니다.
그렇기 때문에 정확한 일직선,
정확한 정사각형임을 주장할 수 있었습니다.
보다 완성된 방법은 바로 유클리드의 방법입니다.
신부의 의자라고 불리는 도형을 통해 유클리드의 증명을 즐겨보시기 바랍니다.