공간 학습법

공간 풀이법: 어긋나는 부분을 찾아 일치시켜라 첫 번째로는 적분의 의미를 적용합니다. 적분의 기본적인 뜻은 무엇입니까? 부호 붙인 넓이(signed area)입니다. 두 번째로는 뭐죠? ….미적분학의 기본정리입니다. 그런데… 이 공식은 언제 가능합니까?… 바로 함수 f가 연속 함수일 때입니다. 다시 말해서 지금은 절댓값을 직접 미분하는 상황은 아니라는 거죠! F'(x) = |f(x)|라 하면 적분은 시야에서 사라집니다. 잠시 동안이지만요. 그리고 이제…

공간 풀이법 : 다룰 수 있는 부분부터 다루자. 개념 공간에는 함수의 연산 합성함수, 역함수와 이와 관련있는 일대일 대응을 바로 써놓겠습니다. 풀이의 공간으로 가겠습니다. 따지고 보면 함수 g도 세 개의 구간에서 서로 다른 식으로 정의된 함수이기에 합성함수를 구하는 것이 쉽지 않습니다. 더구나 그것이 일대일대응이 되는 함수가 나와야 하는데요… 일단 이것저것 끄적여 보겠습니다. 두 가지를 발견하셨다면 성공입니다.…

공간 풀이법 : 의미가 똑같은 다른 표현방식을 찾아라. 오늘은 한국 수학 올림피아드 KMO 문제를 풀어보겠습니다. 문제는 간단하네요. 2023부터 4046까지의 수들에 대해서 각각의 가장 큰 홀수 약수를 구하고 그들의 합을 구하라는 문제입니다. 관건은 여기서 공통성을 발견할 수 있느냐 하는 것입니다. 1000개가 넘는 짝수를 하나하나 처리할 수는 없으니까요. 먼저 발견할 수 있는 사항이 있습니다. 예를 들어 n=2024를…

공간 학습법 (두번째 꼭지) 문제 풀이는 ‘해야 할 것’과 ‘할 수 있는 것‘ 사이의 지속적인 탐색의 과정이다. 주어진 문제를 풀기 위해서 맨 처음 해야 할 일은 물론 문제를 정확히 읽고 이해하는 일입니다. 여기에서 “이해한다”라는 표현에는 사실 여러 가지 뜻이 있는데 그것에 대해서는 차차 이야기하도록 하겠습니다. 정확하게 읽었다면 이제 주어진 문제의 조건들을 검토합니다. 여러 조건들을 차분히 살펴보면서 각 조건들을…

오늘은 미국 수학 경시대회 문제입니다. 공간 풀이법 : 그림, 도형, 도표를 이용하자 Let K be the number of sequences A_1, A_2, … , A_n such that n is a positive integer less than or equal to 10, each A_i is a subset of {1,2,3,…,10}, and A_i-1 is a subset of A_i for each i between 2 and n, inclusive. For example, {}, {5,7}, {2,5,7},{2,5,7}, {2,5,6,7,9} is one such sequence, with n=5. What is the remainder when K is…

공간 풀이법 : 필요한 성질을 유도하자. 개념의 공간은 무엇으로 채워야 하죠? 개념 공간을 채우는 일은 문제 풀이에 필요한 개념들은 무엇일까? 에 대답하는 과정이기도 합니다. 충돌은 기본적으로 운동량 보존이 적용됩니다. 이때 반드시 역학적 에너지가 보존되지는 않습니다. 그런데 지금은 역학적 에너지가 보존되는 충돌이네요. 이 문제는 개념 공간으로 가서 역학적 에너지가 보존되는 충돌에서의 성질을 먼저 정리하겠습니다. 공간 학습법…

공간 풀이법 : 다양한 성질을 찾아보자!! 다양한 예를 그려보면서 만족하는 예와 만족하는 이유, 만족하지 않는 예와 만족하지 않는 이유 등을 천천히 생각해 봅니다. 이제 여러분들은 시간을 갖고 다양한 상황을 한번 생각해보기 바랍니다. 최종적인 발견은 다음과 같아야 합니다. “연속적인 두 정수를 근으로 가져야 한다.” 왜 그렇죠? 이 추론을 위해서 우리는 고1 수학(하) 과정인 집합과 명제에서의 관련…

풀이법 : 대수로 접근할까? 기하로 접근할까? 첫 번째 조건 분석의 공간과 네 번째의 목표 공간은 간단한 문제이기에 쉽게 채울 수 있습니다. 두 번째의 개념 공간 역시 쉽게 구성되네요. 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면 됩니다. 간단한 문제이기에 공간 풀이법을 적용할 필요조차 없어 보입니다. 풀이 공간으로 들어가서 직선을 일반형으로 정리하고 거리 공식을 씁니다. 분모가 최소가 될…

공간 풀이법 : Divide and Conquer!! 이 문제에 대해서 공간 풀이법을 적용합시다. 머릿속에 네 개의 사고 영역을 구상합니다. 이제 세 번째의 공간, 사고의 공간으로 들어가서 문제를 풀어보겠습니다. 어디서부터 시작해야 하는 거죠? 문제풀이에서 가장 중요하면서도 어려운 부분은 바로 이 시작점을 찾는 것이라고 이야기 한 적이 있습니다. 숙달이 되기 전까지는 다양한 탐색을 해야 합니다. 먼저 발견해야 하는…