영동 2022 1-1 중간 기출변형
24. 두 자연수 a, b에 대하여 일차식 x-a를 인수로 가지는 다항식 P(x)=x^4-221x^2+b가 다음 조건을 만족시킨다.
계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 네 개의 일차식의 곱으로 인수분해된다.
서로 다른 다항식 P(x)의 개수를 p라 하고, b가 최댓값을 가지도록 하는 모든 a의 값의 합을 q라 할 때, p+q의 값을 구하시오.
공간 풀이법 :인수정리와 부정방정식
짝수차로만 이루어진 다항식입니다. 이른바 복2차식이죠. x-a를 인수로 갖는다면 x+a도 인수로 가져야합니다. 따라서 P(x)는 다음과 같은 꼴로 인수분해되어야 하겠네요.
P(x)=(x-a)(x+a)(x-c)(x+c)
=(x^2-a^2)(x^2-c^2)
그러므로 221=a^2+c^2, b=a^2c^2입니다.
자연수 조건을 써서 221=a^2+c^2인 경우를 직접 따집니다.
부정방정식이네요.
개념 공간에 추가합니다.
차례로 직접 조사한 결과 221=5^2+14^2=10^2+11^2 단 두 경우입니다. 만약 이차항 계수가 325와 같이 다른 숫자로 주어졌더라면 더 많은 경우가 나왔을 수도 있습니다.
325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2처럼 말이죠. 수가 크고 경우가 많을 수록 부정방정식으로써 다루어야 합니다.
따라서 서로 다른 다항식은 2개==p.
b의 최대는 10^2*11^2이니 a=10, 11. 즉 q=21입니다.
공간 학습법: 개념과 유형을 이용해서 풀자.
중간중간 유형을 잡아낼 수 있어야 합니다.
관련된 공식이나 개념을 차례차례 떠올리면서 말이죠.
문제풀이를 단순한 계산의 연속이 아니라 개념의 흐름으로 만들고 관련된 공식의 연결로 만들어야 합니다.
이 계산은 무엇이다. 이 계산의 의미는 무엇이다. 이 계산은 무엇 때문에 하고 있다. 이 계산은 무엇을 위해서 하고 있는 것이다.
즉 계산을 하고 있지만
덧셈, 뺄셈을 하고 있는 것이 아닌,
사칙 연산 연습을 하고 있는 것이 아닌
개념적인 계산을 하고 있는 상황을 만들어야 합니다.
계산에 의미를 주어야 합니다.
개념의 지휘감독 아래 계산이 이루어져야 합니다.
개념을 잡아내고 계산하고
그 결과를 통해서 새로운 의미를 얻고
새로운 개념을 들여오면서 또 다시 계산하고
그러면서 문제를 풀 수 있어야 합니다.
오늘은 여기까지입니다. 다음에 더 좋은 문제로 찾아올께요.