공간 학습법 (첫 번째 꼭지)
안녕하세요! 성호쌤입니다.
저는 이제부터 문제풀이의 새로운 방법에 대해서 소개하려고 합니다. 정확하게 말하자면 문제 풀이 자체보다는 문제 해결에 대한 메타-사고법, 메타-풀이법에 대한 소개입니다. 공간 사고법, 공간 풀이법이라고 부르려고 하는 이 방법은 저의 오랜 경험으로부터 만들어진 학습법이자 사고법이며, 문제 풀이의 과정을 입체적으로 공간화하여 사고의 과정을 명백하게 만들려고 하는 것에 목적이 있습니다. 추상적인 사고의 과정이 시각적으로 표현되었기 때문에 이 방법을 익힌다면 구독자 여러분들은 문제 풀이의 진행 과정을 아주 쉽게 이해할 수 있게 됩니다. 결과적으로 문제 풀이에 많은 도움을 얻으리라 기대합니다.
여러분들이 어떤 문제를 풀고 있다고 가정해 보죠. 문제 풀이의 과정은 단순할 수도 있고 복잡할 수도 있습니다. 단순하다는 것은 문제 자체가 아주 간단하기 때문일 수도 있지만 본질적으로는 풀이의 과정이 직선적으로 진행되는 과정이기 때문입니다. 하나의 조건으로부터 다음 단계의 결과가 나오고, 그 결과로부터 또 그 다음 단계의 결과가 나오면서 차례차례 진행된 이후 최종적인 결과가 얻어진다면 문제 풀이가 직선적으로 이루어진 것입니다. 반면 다음과 같은 상황일 수도 있습니다. 어떤 단계의 결과가 단지 하나의 결론으로 이루어지지 않고 두 가지, 세 가지 또는 그 이상의 경우로 이루어져 있거나 어떤 단계의 결과가 그 이전 단계로 되돌아가게 되어, 일종의 되먹임 현상처럼 말이죠, 풀이의 진행이 복선적으로 연결되는 상황입니다. 이와 같이 풀이의 진행이 거미줄처럼 얽혀 앞뒤로 정신없이 연결된다면 결론을 얻어내기란 쉽지 않은 일입니다.
복잡한 풀이를 쉽게 구분하고 정리해 내기 위해서 저는 사고의 영역을 네 개의 공간으로 나누겠습니다.
각 영역을 천천히 들여다 보겠습니다.
첫 번째 영역은 문제의 공간입니다. 주어진 조건에 의해서 나머지 사고의 공간들이 어떻게 만들어질 것인지 결정 지우는 공간이기도 하고, 경우에 따라서는 각종 제약이 강제되는 공간이기도 합니다. 그렇기 때문에 조건의 영역이지만 제약의 공간이라고도 할 수 있습니다.
두 번째는 개념의 공간입니다. 여러분의 머리 속 어딘가에는 수학에 대한 개념이나 공식들이 어떻게든 저장되어 있을 것입니다. 개념의 공간은 그것을 펼쳐내고 가져와서 활성화한 부분이며, 문제의 풀이와 직접적으로 관련 있는 개념과 공식, 정리, 성질 등을 불러들인 사고 영역입니다. 주어진 문제의 풀이와 관련이 없는 공식이나 개념들이라면 배제하는 역할을 하기도 합니다.
세 번째는 사고의 공간입니다. 실제의 풀이가 진행되는 공간입니다. 계산이 이루어지는 공간이기도 하고, 사고의 공간이기도 합니다. 단순한 계산으로부터 문제를 파헤치기 위한 접근법들, 각종 지침과 방향, 나아가 전략, 전술 등이 사용되는 공간이라서 여러분들이 보통 문제를 푼다고 표현한다면 이 영역에서의 사고 활동을 이야기하는 것입니다.
네번째는 목표의 공간입니다. 문제에서 최종적으로 요구하는 것은 무엇인지에 대한 내용을 정리한 사고 영역입니다.
어떤가요? 사고의 과정을 이와 같이 네 개의 영역으로 나누어보니까 시각적으로 한 눈에 들어오죠? 아직 입체적인 느낌까지는 들지 않겠지만 말이죠.
이 영역들 사이의 관계는 보통 순차적이기는 합니다. 앞에서 이야기한 일직선적인 문제 풀이의 경우가 그렇습니다. 그렇지만 다른 경우도 물론 많이 있습니다. 사고의 공간에서의 진행 상황에 따라서 사고의 공간 자체가 분리된다던가 변형될 수 있습니다. 또 조건의 공간이 달라질 수도 있고, 개념 공간이 달라질 수도 있습니다. 예를 들어 조건을 좀 더 단순하게 만들거나 조건 자체를 새로운 조건으로 변형시킨다면 조건의 공간이 달라집니다. 조건을 변화시킴에 따라 필요한 개념이 달라지고 처음에 예상하지 못했던 새로운 공식이 필요할 수도 있습니다. 혹시 ‘거꾸로 풀어라’라는 말을 들어본 적이 있나요? 국제 수학 올림피아드에서도 문제 풀이의 한 지침으로 당당히 사용되고 있는 이 방법의 내용은 ‘최종의 목표 공간으로부터 시작하여 역으로 거슬러 올라가면서 문제를 풀어라’라는 뜻입니다. 그렇기 때문에 각 영역들의 관계는 단순한 입력-출력의 관계는 아니며, 단계마다 영역의 내용이 바뀔 수 있기에 각각의 영역이 고정 불변이지도 않습니다.
이제부터 저는 공간 풀이법을 사용하여 여러 문제를 풀어보겠습니다. 추상적인 사고의 과정을 시각화하고 사고 과정을 실체적으로 보여주겠습니다. 그를 통해 다양한 문제의 풀이에 대한 구독자 여러분들의 이해도를 획기적으로 높이려고 합니다.
앞으로 많은 기대와 성원 부탁드립니다.