테오쌤-오늘은 7월 고3 전국연합학력평가가 있었습니다. 그래서 매주 월요일에 올리고 있는 매일 한 문제를 미리 올려보았습니다. 전반적으로 난이도가 너무 낮았고 지난 6월에 비해서도 많이 쉬워서 크게 눈에 띄이는 문제가 없는데요, 성호쌤께서 오늘 수학 문제중 수열 문제를 풀어주신다고 하네요.
11. 공차가 d(0<d<1)인 등차수열 {a_n}이 다음 조건을
만족시킨다.
(가) a_5는 자연수이다.
(나) 수열 {a_n}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_n이라
할 때, S_8=68/3이다.
a_16의 값은?
이 문제의 열쇠는 제5항과 공차를 이용해서 나타낸다 입니다. 초항 대신 5항을 이용하는 거죠. S_8= a_1+…+a_8=(a_5-4d)+…+(a_5+3d)=8a_5-4d.
즉 8a_5-4d=68/3 8a_5 = 68/3+4d. d의 범위를 생각하면 자연수 a_5는 3이네요. d=1/4여서 a_16=a_5+11d=3+11/3=20/3입니다.
15. 첫째항이 자연수인 수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대하여
a_n+1=
1/2a_n(1/2a_n이 자연수인 경우)
(a_n-1)^2
(1/2a_n이 자연수가 아닌 경우)
를 만족시킬 때, a_7=1이 되도록 하는 모든 a_1의 값의 합은?
먼저 ‘1/2a_n이 자연수’라는 약간은 부자연스러운 표현을 굳이 왜 썼을까를 생각하면서 예 하나와 성질 하나를 찾아내고 시작하겠습니다.
처음 항 a_1=1이라 하면 어떻죠? 1,0,1,0,1,0,1 7항이 1이 나오네요. 아마도 ‘1/2a_n이 자연수’라는 표현은 0이 등장하는 상황 때문에 나온 표현으로 추측됩니다. 항의 값이 음수가 나올 수 있을까요? 1/2a_n도
(a_n-1)^2도 음수가 나올 수는 없네요. 예 하나와 성질 하나를 얻었으니 거꾸로 생각하면 됩니다. 흔하게 쓰는 접근법이죠.
64 32 16 8 4 2 1
10 5
24 12 6 3
16 8 4 2 1 0
6 3
4 2 1 0
1 0
그래서 64+10+24+16+6+4+1=125 입니다.