수학세특(12)-피타고라스 정리

오늘은 중학교 수학 과정에서 하나를 가져와 봤습니다. 피타고라스 정리입니다. 수 백가지의 증명법이 있다고 알려져 있죠?
자신의 수학적인 관심을 나타내기 위해서 많은 증명 중에 하나를 선택해 직접 발표해 보는 것도 좋은 방법입니다. 이 영상에서는 그 중에 레오나르도 다 빈치의 증명 방법을 소개하고, 한 걸음 나아가서 변형된 피타고라스 정리에 대해서도 소개해 보겠습니다.
증명1-레오나르도 다 빈치의 피타고라스 정리 증명
먼저 직각 삼각형과 정사각형들을 그립니다.
그 다음에 합동인 직각삼각형 두 개를 더 그리겠습니다. 이제 이 사각형과 이 사각형이 합동임을 확인하기만 하면 됩니다. 점 A를 중심으로 90도 돌린다고 생각하면 되는군요. 그러면 피타고라스 정리가 쉽게 얻어집니다.
발표 내용에 새로운 것이 없으면 안되겠죠?
그러면 발표 내용을 좀 더 확장하기 위해서 이제 피타고라스 정리의 변형들을 생각해 보겠습니다.
역수의 피타고라스 정리입니다. 두 번째의 증명입니다.
증명2 역수의 피타고라스 정리
빗변에서 내린 높이를 h라고 합시다. 그러면 넓이 관계에서 ab=ch이며
제곱하고 나눕니다.
a^2b^2=c^2h^2
a^2b^2=(a^2+b^2)h^2
1/h^2=1/a^2+1/b^2
역수의 피타고라스 정리가 얻어졌습니다.
이제 더 나아가 이것을 3차원으로 확장해 보겠습니다. 세 번째의 증명입니다.
증명3 입체 도형의 피타고라스 정리
서로 직각으로 만나는 꼭지점을 가진 삼각뿔을 생각합니다. 빗면에 내린 높이를 h라 하고, 밑면에서의 높이를 h_1이라고 하겠습니다. 역수의 피타고라스 정리를 적용합니다. 또 적용합니다. 3차원에서의 새로운 역수의 피타고라스 정리가 얻어집니다. 직각을 낀 각 면의 넓이를 S_1, S_2, S_3라 하고 빗면의 넓이를 S라 합시다.
부피를 생각하면서
양변에 (3V)^2을 곱하고 정리합니다.
어때요? 겉넓이를 이용한 3차원 피타고라스 정리입니다. 신기하죠?
피타고라스 정리에서도 새롭고 재미있는 발표 내용들을 많이 찾아볼 수 있으니 좋은 내용을 찾아 자신의 수학적 관심을 표현해 보시기 바랍니다.