로렌츠 변환식 유도
아인슈타인의 특수상대성이론은 두 가지의 가정을 그 밑바탕에 두고 있습니다. 첫 번째는 “모든 관성계에서의 물리 법칙은 동일하다”라는 상대성 원리입니다.두 번째의 가정은 “모든 관성계에서의 빛의 속력은 일정하다”라는 광속불변의 원리입니다. 이 두 가지의 가정을 바탕으로 로렌츠 변환식을 유도해 보겠습니다.
먼저 상대성 원리에 대해서 설명해 보겠습니다.
가영이와 나영이가 서로에 대해서 등속으로 움직입니다. 가영이는 어떤 시계를 가지고 있습니다. 나영이도 똑같은 시계를 가지고 있습니다. 똑같은 시계를 가지고 서로에 대해서 등속으로 움직이고 있는 상황입니다. 그런데 무슨 이유에서인지 가영이가 보기에 나영이의 시계가 느리게 가고 있습니다. 나영이의 시계로 보니 1초가 지났는데 자신의 시계는 2초가 흘렀네요. 예를 들자면요. 우리의 일상적인 경험으로는 내가 보기에 다른 사람의 시계가 느리게 가고 있다면 다른 사람 기준으로는 어때야 하죠? 그 사람 기준으로는 나의 시계가 빠르게 가고 있어야 합니다.
상식인가요?
하지만 어떤 물리적 현상에 대해서라면 생각을 달리해야 합니다. 가영이가 보기에 나영이와 함께 움직이는 물리적 현상이 느리게 진행된다면, 나영이가 보기에 가영이와 함께 움직이는 똑같은 물리적 현상에 대해서 뭐라 해야 하죠? 빠르다가 아니라 똑같이 느리다고 생각해야 합니다. 아니 생각의 문제가 아니라 느린 것으로 측정해야 합니다. 이것이 상대성 원리의 내용입니다.
좌표축을 설정하도록 하겠습니다. 가영이의 시공간 좌표는 (x, y, z, t)으로, 나영이의 시공간 좌표는 (x’, y’, z’, t’)로 표시합니다.
시각 t=t’=0에서 좌표축이 일치하고 x축 양의 방향으로 나영이가 움직인다고 생각해 보겠습니다. 가영이 기준으로요.
그러면 가영이 기준으로 시각 t=t가 되었을 때 이렇게 됩니다. 가영이가 보기에 나영이의 속력은 v라고 측정했다고 가정하죠.
그렇다면 나영이가 보기에 가영이는 어떻게 되죠? 이렇게 됩니다. 속력은 똑같이 v입니다. 상대성 원리 때문입니다. 단지 방향만이 반대가 되겠네요.
두 좌표계 사이의 변환 관계를 다음과 같이 생각합니다.
먼저 운동방향과 수직인 y축과 z축에 대해서는 y’=y, z’=z입니다.
x’=ax+bt, t’=ct+dx
가 성립한다면
x=ax’+bt’, t=ct’+dx’
이어야 합니다. 상대성 원리에 의해서 물리법칙이 동일해야 하니까요. 아 그런데 가영이가 보기에 나영이는 x축 양의 방향, 나영이가 보기에 가영이는 x축 음의 방향, 운동방향만은 반대이군요. 나영이 입장에서는 자신과 가영이의 x축 방향을 모두 반대로 해야만 가영이가 보는 상황과 똑같이 되겠죠? 그래서 정확하게는 다음과 같이 되어야 합니다.
(-x)=a(-x’)+bt’, t=ct’+d(-x’)
즉
x=ax’-bt’, t=ct’-dx’
이제 수식의 완성을 위해 추가적으로 세 가지의 단계를 거쳐보겠습니다.
첫 번째는 가영이가 보기에 나영이의 위치, 즉 나영이의 원점은 시각 t=t일 때 x=vt입니다. 그만큼 움직여 갔으니까요. 가영이의 시공간 좌표 (x,0,0,t)=(vt,0,0,t)에 나영이의 시공간 좌표 (x’,0,0,t’)=(0,0,0,t’)이 대응합니다. 이를 대입합니다. x’=ax+bt=a(vt)+bt=0, b=-av가 얻어집니다.
x’=ax+bt, t’=ct+dx ==> x’=a(x-vt), t’=ct+dx
x=ax’-bt’, t=ct’-dx’ ==> x=a(x’+vt’), t=ct’-dx’
두 번째는 가영이의 시공간 좌표 (x, y, z, t)를 이용하여 나영이의 시공간 좌표 (x’, y’, z’, t’)를 구했을 때, 반대로도 되어야 한다는 사실입니다. 즉 나영이의 시공간 좌표 (x’, y’, z’, t’)를 이용하면 가영이의 시공간 좌표 (x, y, z, t)를 정확하게 도로 구할 수 있어야 합니다.
x=a(x’+vt’)=a(a(x-vt)+v(ct+dx))=(a^2+avd)x+(-a^2v+avc)t
t=ct’-dx’=c(ct+dx)-da(x-vt)=(c^2+adv)t+(cd-ad)x
즉
x=(a^2+avd)x+(-a^2v+avc)t
t=(c^2+adv)t+(cd-ad)x
이게 각각 항등식이 되어야 하겠죠?
a^2+avd=1, -a^2v+avc=0
c^2+adv-1, cd-ad=0
a=c와 a^2+avd=1이 얻어집니다. 정리하면
x’=a(x-vt), t’=at+dx
x=a(x’+vt’), t=at’-dx’
a^2+avd=1
이제 마지막으로 빛의 속력은 일정하다를 적용합니다.
가영이와 나영이가 스쳐 지나가는 그 순간, 즉 서로의 원점이 겹쳤을 때, 빛이 반짝하고 퍼져 나갔다고 생각하겠습니다. 시간이 흘러 임의의 시각 t가 되었을 때, 가영이는 이렇게 상황을 봅니다. 둥그런 구가 빛이 퍼져 나간 파면입니다. 방정식으로 이렇습니다.
x^2+y^2+z^2=(Ct)^2
반지름이 Ct인 구의 방정식입니다. 여기에서 대문자 C는 빛의 속력입니다.
한편 이것을 나영이의 시공간 좌표로 바꾸어 봅니다. 대입하면 됩니다.
(a(x’+vt’))^2+y’^2+z’^2=(C(at’-dx’))^2
(a^2-C^2d^2)x’^2+y’^2+z’^2=(C^2a^2-a^2v^2)t’^2-2(a^2v+C^2ad)x’t’
그런데 시각 t’일 때 나영이가 보는 상황은 어떻죠?
이렇게 됩니다. 이렇게 보이지 않습니다.
따라서 나영이가 보기에도 정확한 구의 방정식이 되어야 합니다.
x’^2+y’^2+z’^2=(Ct’)^2
a^2-C^2d^2=1, C^2a^2-a^2v^2=C^2, a^2v+C^2ad=0
이미 알고 있던 a^2+avd=1과 연립합니다.
C^2a^2-a^2v^2=C^2 ==> a^2 = C^2/(C^2-v^2)
a=1/\sqrt(1-(v/C)^2))
d=-av/C^2
드디어 완성되었습니다. a를 로렌츠 인자라 하여 보통 \gamma로 표시합니다.
x’=\gamma(x-vt)
t’=\gamma(t-v/C^2x)
기본적인 가정을 통해서 완벽한 식을 찾아낼 수 있었습니다. 놀랍죠?
이것을 바탕으로 길이 수축이라든가 시간 지연 등의 현상을 수식적으로 간단히 증명할 수 있습니다.
물리에 촛점을 맞추어 세특을 준비한다면 물리적인 가정이 수식적인 전개에 얼마나 결정적인 영향을 끼치는지, 그 영향력의 크기를 강조하는 내용으로 준비할 수 있겠고, 수학에 촛점을 맞추어 세특을 준비한다면 추상적인 가정이 수학을 통해 어떻게 구체적이고 정밀한 주장으로 바뀌어질 수 있는지를 중심 내용으로 삼아 준비할 수 있겠습니다.
내용을 추가해서 자신만의 세특을 준비해 보시기 바랍니다.