근의 분리에서의 다음 문제를 새로운 관점에서 접근함으로써 아주 쉽게 풀 수 있음을 보이는 수학 세특 발표입니다.
이차방정식 x^2-(m+1)x+2m=0이 -1<=x<=1에서 적어도 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 m의 값의 범위를 구하여라.
방법1) 근의 분리를 이용한 풀이법은 대략 다음과 같습니다.
ㄱ) 한 근을 가질 때 f(-1)f(1)<=0 m(3m+2)<=0
ㄴ) 두 근을 가질 때-한!판!축!입니다.
ㄴ-1) 한계값 f(-1)>0, f(1)>0 3m+2>0, m>0
ㄴ-2) 판별식 D>=0 (m+1)^2-8m>=0
ㄴ-3) 축 -1<m+1/2<1
식이 단순하지도 않은 데다가
사실 위의 구분은 좀 불확실한 부분이 있습니다. ㄱ)과 ㄴ) 사이에 겹치는 부분이 있기 때문입니다. 아시겠나요?
그런데 다음 방법을 이용하면 아주 쉽게 모든 힘든 부분이 사라집니다.
방법2) 그래프를 이용
방정식을 다음과 같이 변형하고
x^2-x=m(x-2)
두 그래프의 교점 구하는 문제로 바꿉니다. 그림에서 접하는 경우와 (-1, 2)를 지나는 경우 단 두 경우 만을 구하면 끝입니다. D=0에서 (m+1)^2-8m=0. m=3-2r2
-2/3<=m<=3-2r2
답이 나옵니다.
물론 순수하게 근의 분리로만 풀어야 되는 문제도 있지만 그래프 문제로 넘기면 많은 문제들이 대부분 쉽게 해결된답니다. 적당한 문제를 찾아서 한 번 시도해 보고 좋은 발표 준비하시기 바랍니다.