3차원에 정다면체가 있다면 4차원에는 정다포체가 있습니다. 4차원 정다포체란 무엇이고 어떻게 생겼는지 알아보겠습니다.
2차원 다각형은 점과 선이 있고, 선이 경계입니다. 하나의 평면적인 면을 둘러싸고 있습니다.
3차원 입체는 점, 선, 면이 있고, 면이 경계입니다. 하나의 공간 영역을 둘러싸고 있습니다.
따라서 4차원 초입체는 점, 선, 면 외에 입체가 있어야 하고, 입체가 경계여야 햡니다. 하나의 초입체 영역을 둘러싸고 있겠죠.
4차원 정다포체란 3차원 정다면체를 개념적으로 4차원으로 끌어올린 초입체입니다. 경계선 역할을 하는 모든 입체가 정다면체입니다.
3차원 정다면체가 모두 5종류밖에 없듯이 4차원 정다포체도 많지는 않습니다. 모두 6종류가 있습니다.
정다면체에서의 숫자가 면의 수를 뜻하는 것이라면, 정다포체에서의 숫자는 입체의 수입니다. 예를 들어 정오포체는 초입체 영역을 둘러싸서 경계 역할을 하는 입체가 모두 다섯 개입니다.
각각 3차원 정다면체로부터 만들 수 있습니다.
정오포체는 정사면체,
정팔포체는 정육면체,
정십육포체는 정팔면체,
정백이십포체는 정십이면체,
정육백포체는 정이십면체
정다면체로부터 만들어진다고 해서 경계 역할을 하는 입체가 같은 정다면체인 것은 아닙니다. 정팔면체로부터 만들어지는 정십육포체는 경계가 정사면체입니다.
그런데 더 특이한 것이 있습니다. 정이십사포체입니다.
이 입체는 3차원에도 비슷한 입체가 없고 5차원에서도 비슷한 입체가 없는, 오직 4차원에만 존재하는 입체라서 ‘4차원 만의 고유한 정다포체’라고 할 수 있습니다.
이 초입체를 만들어보겠습니다. 이 초입체는 경계 역할을 하는 입체가 정팔면체입니다.
먼저 정팔면체입니다.
정다면체를 만들어 갈 때 평면을 빈틈없이 채워 나갔던 거, 기억하시죠?
정이십사포체는 한 모서리마다 세 개의 정팔면체를 붙여가면서 공간을 채워가면 됩니다.
각 면에 정팔면체를 하나씩 붙이는데 면이 서로 들어맞도록 붙입니다.
모두 8개를 붙일 수 있네요.
빈 곳이 생기는군요. 모두 6군데입니다.
//그런데 빈 곳을 잠시 무시하고 이제 여기에 다시 정팔면체 8개를 갖다 붙입니다. 처음의 정팔면체의 각 면에 새로 정팔면체를 붙일 때를 보면 삼각형이 180도 회전한 상태를 확인할 수 있습니다. 여기에 다시 정팔면체를 붙이면 정삼각형이 다시 180도 회전합니다. 그래서 커다란 정팔면체가 만들어집니다. 4차원적인 상황을 3차원으로 생각하고 있기에 정팔면체는 부풀려지고 커졌습니다만, 두 가지를 정확히 확인할 수 있으시죠? 즉 다시 8개를 붙였더니 커다란 정팔면체 모양이 만들어졌다는 점, 두 번째로 아까 잠시 제쳐 놓았던 빈 곳은 모두 정팔면체, 물론 정확한 비율로 보이지는 않는 정팔면체입니다. 1+8+8+6의 정팔면체로 커다란 정팔면체를 만들었습니다. 이제 이 커다란 정팔면체 모양을 반전된 정팔면체 한 개를 이용하여 3차원 공간을 완벽히 채웁니다.
하지만 이제 사실상 끝났습니다.
일단 그대로 비워놓고 이 입체를 반전시킵니다.
처음 정팔면채를 반전시키고
면에 붙어 있던 정팔면체를 반전시키면
새로 9개의 정팔면체가 사용되었고, 끼워 맞춥니다. 아직 비워진 부분은
정확히 팔면체 모양입니다. 6개의 부분에 정팔면체를 하나씩 끼워 넣습니다. 모두 24개의 정팔면체로 공간을 채웠습니다.
아 + ‘.’ 도 잊지 말아야죠.
//쇼츠
4차원의 정다면체를 정다포체라고 합니다. 간단한 정다포체를 만들어 보겠습니다.
정육면체를 4차원으로 끌어올린 정팔포체입니다.
1차원의 선분으로부터 시작할까요? 새로운 좌표축은 항상 시간축으로 생각합니다.
선분을 시간축을 따라 죽 끌어올립니다. 2차원에서는 정사각형이네요.
정사각형을 시간축을 따라 죽 끌어올립니다. 3차원에서는 정육면체입니다.
정육면체를 시간축을 따라 죽 끌어올립니다.
사실 우리는 사차원을 볼 수 없기 때문에 그림의 정팔포체는 3차원에 비친 그림자입니다.
조금 다르게 해 볼까요? 시간축을 따라 끌어 올릴 때 제 자리에서 크기만을 키운다고 생각하죠. 그러면 이렇게 됩니다.
그런데 이 영역들이 겹치고 있죠.
반전시킵니다.
아… 점!