완전수는 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합이 자신과 같은 양의 정수입니다 . 예를 들어 6은 자신의 진약수 1, 2, 3의 합과 같으므로 완전수입니다. 두 번째의 완전수는 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28이므로) 28입니다.
완전수란, 자기 자신까지 포함하면, 약수의 총합이 정확히 자신의 두 배가 되는 수입니다.
서기 1 세기의 유대인 철학자 필론은 저서 “창조론”에서 완전수를 언급하며 “세계는 6일 만에 창조되었고 달은 28일 만에 공전합니다. 6과 28이 완벽하기 때문입니다.”라고 강조하기도 했습니다.
그리스 수학자들은 완전수에 대한 관심을 오래전부터 갖고 있었습니다.
이미 유클리드는 원론 9권 명제 36에서 완전수에 대한 증명을 제시하고 있습니다.
“단위수 1로 시작해서 2를 계속해서 곱해서 몇 개의 수를 만들자. 이들 수들이 합이 소수라고 하자. 그러면 합에다 마지막 수를 곱한 수는 완전수이다.”
즉 1+2+4+…+2^n = 2^n+1-1이 소수이면 2^n(2^n+1-1)는 완전수이다라는 주장입니다. 모든 약수는 다 더해 보면 정확히 2^n(2^n+1-1), 자신의 두 배군요.
짝수인 완전수에 대한 완벽한 증명은 대수학자 오일러에게서 비롯됩니다. 유클리드의 원론이 나온 지 2000년도 더 지난 1747년입니다.
오일러의 증명입니다.
짝수인 완전수는 반드시 2^nM(M=2^n+1-1은 소수)꼴이다.
먼저 사전 지식을 얻기 위해 자연수 N을 소인수 분해하여 약수의 총합을 구해 봅니다.
홀수인 M의 약수들을 차례로 1, d_1, d_2,…,M이라고 합시다.
약수의 총합은 이렇게 구해집니다.
이것이 2n = 2^n+1M이 되어야 합니다.
(2^n+1-1)은 3이상의 홀수이니 M의 약수 중에는
(2^n+1-1)y=M
인 y가 있습니다.
(2^n+1-1) (1+홀+홀+…+M)=(2^n+1-1) (y+M+…)>=(2^n+1-1)y+M(2^n+1-1)=M+(2^n+1-1)M=2^n+1M
그렇다면 여기에서 부등호가 성립하지 않고 등호가 성립해야 합니다. 즉 M의 약수는 y와 M밖에 없어야 합니다. y=1이고 M은 소수여야 합니다.
따라서 N=2^nM(M=2^n+1-1은 소수)입니다.
홀수인 완전수가 존재하는지에 대해서는 아직 결론이 나지 않았습니다. 수학에는 많은 미해결 문제들이 있습니다. 완전수와 관련해서도 두 가지 미해결 문제가 있습니다.
한 가지는
(짝수인) 완전수는 무한히 존재하느냐, 입니다.
여기에서 핵심은 M=2^p-1꼴의 수가 소수이냐는 것인데 이런 형태의 소수를 메르센 소수라고 합니다.
다시 말해서 메르센 소수는 무한히 존재하느냐
입니다. 수학자들은 심정적으로 그렇다고 대답합니다.
또 한 가지는 홀수인 완전수가 과연 존재하느냐입니다.
매우 부정적인 증거들이 많이 있긴 하지만 확증은 없습니다.
//쇼츠1
완전수는 자신의 진약수의 총합이 자신과 같은 수입니다. 짝수인 완전수는 반드시 2^kM(M=2^k+1-1은 소수)꼴이어야 합니다. 위대한 수학자 오일러가 증명했습니다. 여기에서 핵심은 2^n-1 꼴의 수가 소수여야 한다는 것입니다. 이런 수를 메르센 소수라고 합니다.
2^n-1가 소수이기 위해서는 n이 소수여야 합니다.
n이 합성수라고 해 보죠.
예를 들어 2^15-1 = 1+2+2^2+…+2^14이며 총 15개의 수를 15의 약수를 사용하여 3개씩 묶을 수 있습니다. 합성수네요. 하지만 아쉽게도 n이 소수라고 해서 꼭 소수가 되는 것은 아닙니다.
211 − 1 = 2047 = 23 × 89
2023년 기준으로 51개의 메르센 소수가 알려져 있으며 그 중에서 제일 큰 것은 282,589,933 − 1 입니다. 무려 24,86만 2,048자리이며 2018년 12월에 발견되어 2024년 현재까지 발견된 가장 큰 소수로써의 영광을 5년 넘게 누리고 있습니다.
//쇼츠2
그리스인들은 수의 다양한 성질에 놀라워했고, 신비로운 속성을 부여하기도 했습니다. 그리스인들이 발견한 수의 성질 중에는 친화수라고 부르는 것이 있습니다. 친화수는 한 쌍의 수로써 서로의 진약수의 총합이 다른 수가 되는 수들을 가리킵니다.
가장 간단한 친화수는 220과 284입니다.
220의 진약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110으로 모두 합하면 284가 되며, 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142으로 이를 모두 더하면 220이 됩니다.
고대 그리스 사람들은 이 수를 부적처럼 적어 친구끼리 몸에 지니고 다니면 우정이 오랫동안 유지된다고 믿었습니다.
아랍 문명의 수학자들은 친화수에 대해 연구를 했지만 많은 부분 잊혀졌으며, 1636년 프랑스의 뛰어난 수학 애호가 페르마는 두 번째의 친화수 (17296, 18416)를 재발견하는데 성공하였습니다. 1750년 대수학자 오일러는 무려 62쌍의 친화수를 발견했는데, 놀랍게도 1886년 이탈리아의 16세의 어린 소년 니콜로 파가니니가 모두가 간과하고 있었던 훨씬 간단한 친화수 (1184, 1210)을 발견하여 지하에 잠들어 있던 위대한 수학자들을 놀라게 하였습니다.