3대작도 불능의 문제(2)
불가능으로 밝혀진 두 번째의 작도 문제입니다. 임의로 주어진 각을 삼등분하는 문제인데, 아마도 이 문제는 정구각형을 작도하려고 시도하면서 등장한 것 같습니다.
정삼각형으로부터 정육각형을 쉽게 작도할 수 있습니다. 임의의 각을 이등분할 수 있기 때문입니다.
그렇다면 구각형은 어떨까요? 정삼각형의 한 내각인 60도를 3등분해야 합니다.
그리스 시대에 다양한 시도들이 있었습니다. 그 중 하나를 보겠습니다. 고대 그리스 세계의 수학 천재 아르키메데스도 하나의 해법을 제시하였습니다.
3등분하려는 각도를 표시하고 다음과 같이 반지름과 반원 외부의 선분의 길이가 같도록 만드는 직선을 잘~ 찾아 보자는 방법입니다. 어쩐지 만족스럽지는 않죠?
정확한 발명자는 알려지지 않았지만 1835년 유럽의 책에서 등장하는 손도끼(토마호크) 모양의 도구도 있습니다.
반원과 그 반지름, 수직인 선으로 이루어진 도구인데 3등분을 원하는 각도에다가 반원에 접하도록 끼워 맞추기만 하면 됩니다.
하지만 이런 손도끼라 해도 그리스 수학자들을 만족시키기에는 불가능했을 것입니다.
그럼 이번 영상에서는 정구각형은 왜 작도불가능한지 밝혀보겠습니다. 그리고 바늘로 찔러도 피 한방울 흘릴 것 같지 않은 차가운 이성의 수학 천재 가우스가 밝혀낸 정십칠각형의 작도가능성에 대해서 이야기해 보도록 하겠습니다.
정n각형을 작도하는 것은 결국 원의 중심각을 n등분하는 것이고, 360/n 도를 작도하는 것입니다.
그런데 이 것을 대수적인 관점, 구체적으로는 방정식의 관점에서 보면 신기하게도 x^n-1=0의 근을 찾는 것입니다. 드 므아브르의 정리라고 하는 정리 때문인데, 그것을 직접 증명할 수는 없으니 예를 통해 살펴보겠습니다.
하지만 미리 준비해야 할 내용이 있습니다. 바로 복소평면이라는 개념입니다. 복소수 a+bi를 점 (a, b)에 대응시켜 생각한 평면입니다.
먼저 x^3-1=0을 풀어봅니다. (x-1)(x^2+x+1)=0
x=1, -1+-\sqrt3i/2
이 근들을 복소평면에 찍어봅니다.
정확히 정삼각형을 이루네요.
x^4-1=0을 풀어봅니다.
x=1, -1, i, -i
이번에는 정사각형을 이룹니다.
어때요? 신기하죠?
여기에 저번 영상에서 이야기했던
“작도가능한 수는 2의 거듭제곱을 차수로 갖는 다항식의 근이어야만 한다”
라는 내용을 결합해서 오각형에 대해서 생각해 볼까요?
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
여기에 사차식이 나옵니다.
이 사차방정식은 두 단계로 나누어 풀이가 가능합니다.
1단계는 적절히 T로 치환한 후에 방정식을 풀고
2단계는 분수식을 정리하여 방정식을 풀면 됩니다.
모두 이차방정식입니다.
따라서 정오각형은 작도가능했던 것입니다.
구각형은 어떻죠?
x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1)
앞의 부분 x^3-1은 정삼각형의 작도와 관련된 부분이며, 뒷부분이 정구각형의 작도 즉 60도의 3등분에 대한 부분입니다. 그런데 이것은 아무리 해도 이차식 곱하기 4차식으로 인수분해가 되지 않습니다. 그래서 정구각형은 작도불가능합니다.
이제 다음을 추론할 수 있습니다. 예를 들어 정 60각형은 작도가능합니다. 정삼각형, 정오각형이 작도가능하기 때문에 정십오각형이 작도가능합니다. 그 이후에 30각형, 60각형 순으로 작도하면 됩니다.
만약 소수 n에 대해서 정n각형이 작도되기 위해서는 어떻게 되어야 할까요?
x^n-1=(x-1)(x^n-1+…+x+1)
x^n-1은 이렇게 인수분해됩니다. 이 다항식(x^n-1+…+x+1)이 작도가능한 수를 나타내는 다항식이어야 합니다. 즉 n-1은 2의 거듭제곱수여야 합니다. 17은 그러한 수입니다.
이제부터는 가우스의 작업입니다. 가우스가 19살 때인 1796년 3월 30일에 알아낸 사실을 지금 소개해 보겠습니다.
x^17-1=(x-1)(x^16+x^15+…+x+1)
16차 방정식
x^16+x^15+…+x+1=0
을 네 단계의 2차방정식으로 나누어 풀어보는 작업이 과연 가능할까요?
먼저 이 방정식의 한 근을 A라 하고
x_1=A+A^2+A^4+A^8+A^9+A^13+A^15+A^16
x_2=A^3+A^5+A^6+A^7+A^10+A^11+A^12+A^14
라고 둡니다. 사실 이렇게 적당하게 두 부분으로 나누는 작업이 제일 어려운 과정입니다. 하지만 말하는 방법보다 셈하는 방법을 먼저 배웠다는 가우스에게는 그리 어려운 일이 아니었을 것입니다. 그러면
x_1+x_2=-1
x_1x_2=-4가 얻어집니다. 따라서 x_1, x_2를 두 근으로 갖는 2차방정식을 작성할 수 있습니다.
t^2+t-4=0
근, 즉 x_1, x_2의 값이 쉽게 얻어집니다.
이제 x_1과 x_2를 각각 쪼갭니다. 역시 쪼개는 게 어렵습니다.
y_1=A+A^4+A^13+A^16
y_2=A^2+A^8+A^9+A^15
y_1+y_2=x_1이며
y_1y_2=-1입니다. x_1x_2를 얻을 때처럼 직접 곱하기 하고 A^17=1이라는 관계식과 처음의 16차방정식을 이용하면 얻어지는데 처음 x_1x_2를 구할 때처럼 살인적(?)이지는 않습니다.
이차방정식을 풉니다. t^2-x_1t-1=0
마찬가지로
y_3=A^3+A^5+A^12+A^14
y_4=A^6+A^7+A^10+A^11
y_3+y_4=x_2이며
y_3y_4=-1입니다.
이번 이차방정식은 t^2-x_2t-1=0입니다.
세 번째 단계입니다.
z_1=A+A^16
z_2=A^4+A^13
그러면 z_1+z_2=y_1, z_1z_2=y_3
이번 이차방정식은 t^2-y_1t+y_3=0
이제 이 것의 한 근은 z_1입니다. 그런데 A^16=1/A이므로
z_1=A+1/A이며 A^2-z_1A+1=0으로 변형되어 마지막 이차방정식을 풀면 근을 구할 수 있습니다. 정확히 네 단계의 2차방정식 풀이로 16차 방정식을 풀었습니다. 정17각형은 작도가능하네요. 가우스의 작업이었습니다.
//쇼츠// 페르마소수
메르센 소수를 소개한 적 있죠? 2의 거듭제곱 빼기 1 꼴의 소수입니다. 거듭제곱의 지수는 반드시 소수였어야 합니다. 이번에는 페르마 소수를 소개하겠습니다. 2의 거듭제곱 더하기 1 꼴의 소수입니다. 이 경우 지수는 반드시 2의 거듭제곱수입니다. 즉 홀수인 소인수를 갖지 않아야 합니다. 홀수인 n에 대해서 다항식 x의 n제곱 + 1은 x+1을 반드시 인수로 갖기 때문에 예를 들어 2의 80제곱+1은 소수가 될 수 없습니다.
페르마는 1637년 다음의 형태로 쓸 수 있는 모든 자연수는 소수일 것이라고 추측했으나
F_n=2^2^n+1
1732년 레온하르트 오일러가 F5를 소인수분해하였고, 지금은 오히려 5이상의 모든 F_n들이 합성수이리라는 추측이 힘을 받고 있는 상황입니다.