정삼각형의 작도, 정사각형의 작도는 이전의 메소포타미아 문명, 이집트 문명에서 이미 가능했습니다. 새로운 수학에서는 새로운 작도가 가능했을까요? 증명을 발명한 고대 그리스에서는 이전의 빛나는 문명들을 뛰어넘는 새로운 작도를 찾아냈습니다.
바로 정오각형의 작도입니다.
피타고라스 정리로 잘 알려진 피타고라스에게서 입니다. 아니 정확하게는 피타고라스 학파에게서 입니다. 처음 그들의 정확한 작도법이 무엇인지는 확실하지 않으니 그로부터 약 300년 후의 완성된 방법, 원론으로 유명한 유클리드의 방법을 따라서 작도를 해보겠습니다.
유클리드의 방법은 황금 분할로부터 시작합니다. 하지만 황금 분할이라는 표현은 Martin Ohm이라는 독일의 수학자가 1835년 처음 사용하였고,
유클리드는 원론 6권 세번째 정의에서
ἄκρος καὶ μέσος λόγος(“akros kai mesos logos”)
라고 하였습니다.
영어로 번역하면 “extreme and mean ratio”인데, “extreme ratio”는 전체와 긴 부분의 비율을, “mean ratio”는 긴 부분과 짧은 부분 사이의 비율을 나타냅니다. 이 두 개의 비율이 같다는 관계를 통해 긴 부분이 짧은 부분을 포함한 전체 조화를 만들어내는 평균적인 기준이라고 이해할 수 있으며 긴 부분과 짧은 부분이 조화롭고 균형 잡힌 관계를 가진다고 생각할 수 있습니다.
이제 유클리드의 방법을 설명하겠습니다. 원론 2권 11 번째 명제입니다.
먼저 주어진 선분을 한 변으로 정사각형을 작도합니다.
선분 AE의 중점을 잡아 FB=FG인 점 G를 찾습니다.
이제 AG를 한 변으로 정사각형을 작도합니다. 그러면 바로 점 C가 황금분할의 점입니다.
황금분할에 대한 설명입니다. 확장된 부분과 중간 부분 간의 비율로 나눈다는 것은 유클리드 방식으로 이야기하면 AC를 한 변으로 하는 정사각형과 AB, BC를 이웃 두 변으로 하는 직사각형의 넓이가 서로 같다라는 것입니다.
일직선각을 오등분한 각을 가지는 이등변 삼각형을 작도했네요. 유클리드는 이것을 원과 접선의 성질, 즉 접현각의 정리를 써서 증명하였습니다. 원론 4권 10번째 명제입니다.
피타고라스는 또는 피타고라스 학파는 아마도 정오각형의 작도에 대해서 가장 큰 자부심을 느꼈을 것입니다. 사실 직각삼각형의 성질은 이전 메소포타미아 문명, 이집트 문명에서 많이 사용되었고 그 성질의 증명, 즉 피타고라스 정리에 대한 증명은 이미 그 틀이 어느 정도 잡혀 있었습니다. 하지만 정오각형의 작도는 완전히 새로운 것이었으니까요. 너무도 자랑스러워 피타고라스 학파의 상징으로 삼았습니다.
피타고라스 학파는 ‘수’에 깊은 의미를 부여했습니다. 각 ‘수’에는 독특한 의미와 특성이 있었고, 이를 사용하여 우주의 구조와 인간의 삶에 대한 깊은 통찰을 얻으려고 노력했습니다. 이 가운데 다섯은 바로 “하기에이아”를 의미한다고 생각하였습니다.
“ὑγίεια” (hygieia)
건강은 영어로는 health인데, 피타고라스 학파의 철학에서 중요한 개념으로, 신체와 마음, 정신의 균형과 조화를 뜻하는 개념입니다. 다섯 개의 꼭짓점을 가진 별 모양의 도형, pentagram을 신앙적 상징으로까지 사용했습니다.
펜타그램을 내세우며 자랑스워하는 피타고라스 학파의 모습이 눈에 선한데요,…
하지만 피타고라스 수 철학의 곤란한 비밀이 바로 이 상징에서 처음 발견되었다고 합니다.
쇼츠 대본
정삼각형의 작도? 가능했습니다.
정사각형의 작도? 충분히 가능했습니다.
이전 문명권의 업적을 뛰어넘는 그리스 수학의 새로운 업적은 과연 무엇일까요?
피타고라스 정리는 어떤가요?
피타고라스가 태어나기도 1000년이나도 전에 이미 직각삼각형을 이루는 세 변의 길이에 대한 기록들이 이미 널리 쓰여지고 있다는 증거가 있습니다.
그들의 처음 성취는 정오각형의 작도입니다.
먼저 주어진 선분을 황금분할합니다.
바로 점 C 가 황금분할의 점입니다.
두번 째로 삼각형을 작도합니다.
이제 정오각형을 작도할 수 있습니다.
너무도 자랑스러워 학파의 상징으로 삼았습니다.
피타고라스 학파의 수 철학으로도 5는 아주 중요합니다.
하지만 그 누가 알았을까요? 이 상징 속에는 피타고라스 학파에게는 충격적인 비밀이 숨겨져 있었습니다.