저번 영상에서 쌍곡기하학에 대한 모형을 만들어 보았습니다.
그런데 그저 원을 하나 그리고 그 안을 쌍곡기하학의 세계라고 부른다고 해서 새로운 기하세계에 대한 모형이 완성되는 것은 아닙니다. 원 안에 특정한 기하학적인 성질을 부여했을 때에서야만이 새로운 세계에 대한 모형이 됩니다.
먼저 직선이란 무엇인가에 대해서 이야기 했습니다.
그렇다면 두 점 사이의 거리는 어떻게 정할 수 있을까요? 먼저 두 점을 잇는 직선을 그려야겠죠? 우리는 원의 호라는 곡선으로 생각하는 이 도형은 쌍곡기하학 세계에서의 직선인데 이 선을 따라서 거리를 정할 수 있습니다. 상황을 조금 더 직관적으로 이해하기 쉬운 그림으로 바꾸어 보겠습니다. 이 직선을 이 직선으로 옮깁니다. 중심을 지나도록 이동시킵니다. 이제 원의 중심과 다른 점 사이의 거리는 다음과 같습니다.
원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원일 때를 가정한 거리 공식입니다.
복소평면을 가정하면 절댓값이 우리가 생각하는 원점과 점 z사이의 거리입니다.
중심에서 경계선에 해당하는 원 위의 점까지의 거리는 무한대가 됩니다. 우리가 보기에는 유한하지만 이 세계의 사람들에게는 무한한 세계입니다. 무한한 거리를 가야만이 이 세계의 경계선에 도달하게 됩니다. 유클리드 세상의 사람들과 별반 다를 게 없습니다.
혹시 이 세계에서는 원이 어떻게 될까요? 놀랍게도 원 그대로 입니다. 단지 중심이 우리가 생각하는 중심이 아니라 테두리 쪽으로 떨어져 있습니다. 동심원은 이렇습니다. 우리 기준으로는 원점이 뭔가 이 세계의 중심으로 보여도 이 세계의 사람들에게는 그렇지 않습니다. 어느 점이나 이 세계의 중심이 됩니다.
쌍곡기하학의 세계를 채워보겠습니다. 우리가 존재하는, 아니 우리가 살고 있다고 믿어지는 유클리드의 세계에서는 잘 알고 있듯이
삼각형 사각형으로 채워갈 수 있습니다.
하지만 이 세계에서는 이런 방식으로 채워가지 못합니다. 불가능합니다. 세 각이 모두 60도인 정삼각형, 네 개의 내각이 모두 90도인 정사각형이 존재하지 않기 때문입니다.
(정육각형으로도 이 기하세계를 채워갈 수 없습니다.) 유클리드 세계의 우리에게 익숙한 이 방식도 안됩니다. 왜냐하면
이와 같은 삼각형으로 그릴 수 없기 때문입니다. 내각의 합이 180도입니다.
아, 우리한테 곡선처럼 보이는 쌍곡기하학 세계의 직선 사이의 각도는 접선을 그려서 재면 됩니다.
그래서 가능한 것이 정7각형 채우기입니다. 이런 삼각형을 그릴 수 있습니다. 내각의 합이 180도보다 작습니다.
정칠각형으로 채워볼까요?
이것이 이 세계에서 대칭이동하는 방식입니다. 대칭이동을 통해서 차례로 그릴 수 있습니다. 그리고 이 방식을 통해서 쌍곡기하의 로바쳬프스키 평면을 완전히 채울 수 있습니다.
신기하게도 벌집 모양으로 이 세계를 채워가는 평면 채우기는 정7각형부터 정팔각형, 정구각형, … 차례로 가능합니다.
쌍곡기하의 세계를 도형으로 채워가면서 잠시 예술혼을 불태워보겠습니다.
다음 영상에서는 쌍곡기하 세계의 입체도형을 하나 만들어보겠습니다.