지난 영상이 너무 어려웠기에 오늘은 간단한 영상으로 준비했습니다. 대수학의 기본정리입니다.
대수학의 기본정리는 복소수를 계수로 하여 다항방정식을 만들면 복소수 범위에서 반드시 근을 갖는다는 정리로써 복소수 계수의 다항식은 복소수 범위에서 완벽히 인수분해된다는 의미를 갖고 있습니다.
직관적으로 간단한 증명입니다. 보기에 따라서는 증명이라기보다는 증명에 쓰이는 기본적인 생각을 소개하는 영상일 수도 있겠네요.
다항식이 반드시 근을 가질까? 그렇지는 않죠? 어떤 수를 대상으로 하느냐에 따라서 다릅니다.
정수를 계수로 갖는 간단한 일차방정식입니다. 그런데 정수 범위에서는 해가 없죠? 수의 범위를 넓혀야 합니다. 유리수 범위에서 해를 갖습니다.
유리수를 계수로 갖는 간단한 2차방정식입니다. 역시 유리수 범위에서는 해가 존재하지 않죠. 무리수니까요. 이 무리수 개념을 받아들여 실수 개념을 완성하는 데에도 수학자들에게는 아주 오랜 시간이 필요했답니다.
그런데 다음과 같은 실수 계수의 이차방정식의 해를 구할 수 없죠? 실수 범위에서는 말입니다.
수의 집합을 넓히는 과정이 꼭 필요했고, 쉽지 않은 과정을 거쳐서 허수가 수학자들의 수 체계 안으로 받아들여졌습니다. 그래서 이차방정식 x^2+1=0은 복소수 범위에서 인수분해됩니다.
그러면 혹시 이 과정이 한없이 계속되는 것은 아닐까요? x^2+i=0이라든가 아니면 x^3+i=0등의 해를 구하기 위해서 새로운 수가 필요할 수도 있고 그에 따라 더 큰 수의 집합, 더 큰 수의 체계가 필요할 수도 있쟈나요? 그렇다면 수의 집합은 언제나 확장되어야만 합니다.
하지만 다행스럽게도 그렇지 않습니다. 복소수 집합이 끝입니다. 예를 들어 x^2+i=0는 다음과 같은 복소수 해를 갖습니다. x^3+i=0는 어떤가요? 해가 완벽히 구해집니다.
결국 대수학의 기본정리는 어떠한 다항방정식을 가져와도 복소수보다 큰 수의 집합을 생각할 필요없이 복소수에서 완벽히 인수분해되기 때문에 더 큰 수의 집합은 필요하지 않다는 뜻을 갖습니다.
수학의 역사를 잠깐 볼까요?
17세기에 들어와서 수학자들은 다항식의 근은 어떻게든 찾을 수 있지 않겠느냐라는 희망섞인 생각을 하게 되었으며 18세기 후반 레온하르트 오일러의 시기에 이르러서는 오일러나 달랑베르 등의 수학자들에 의해서 부분적인 증명들이 제시되기 시작하였습니다. 하지만 복소수의 개념이 아직 채 받아들여지지도 않았고 또 완성되지도 않았기 때문에 증명들은 뭔가 부족할 수밖에 없었으며, 19세기의 가우스에게서 비로소 완성된 증명이 나타나기 시작했습니다.
오늘 영상에서는 간단히 복소평면의 개념을 이용하여 복소계수의 다항식은 왜 반드시 근을 가질 수밖에 없는지를 보여드리겠습니다.
먼저 복소평면의 개념이 있구요,
그 다음에는 복소평면에서 덧셈을 어떻게 이해할 것인지 잠깐 생각해보구 갈께요. 복소수를 화살표라고 생각해서 이어붙이면 되는 군요.
다음으로는 복소수의 크기입니다. 간단히 원점으로부터의 거리인데 절대값 기호를 붙여서 표시하겠습니다.
그런데 신기하게도 복소수의 곱셈과 크기 개념이 잘 어울리는군요. 곱의 크기는 각각의 크기의 곱과 같습니다. 비슷한 방식으로 생각하면 나눗셈과 잘 어울린다는 사실도 발견할 수 있습니다.
자, 이제 이런 상황을 생각해 보겠습니다. 복소평면에서 원점을 중심으로 한 바퀴 돌면서 그 복소수의 제곱, 세제곱들을 생각해 보겠습니다. 먼저 반지름이 1/2 인 원입니다. 1/2, 1/2(1/r2+1/r2i), 1/2i 등을 제곱해서 표시해봅니다. 반지름이 모두 1/4인 원 위에 표시되네요. 크기는 제곱이 되어야 하니 당연하겠죠?
이번에는 반지름이 2인 원을 생각해보겠습니다. 그런데 한 바퀴 돌면서 그 제곱을 표시해 보니 제곱들은 정확히 두 바퀴 돕니다.이번에는 세제곱을 표시해 볼까요?
반지름이 8인 원 위에 표시됩니다. 아, 이번엔 정확히 세 바퀴 도는군요.
이제 상황을 잘 이해하시겠죠?
그럼 곧바로 증명으로 넘어가겠습니다. 복소수 계수의 다항방정식이 하나 있습니다. 상수항이 0이면 이미 0이라는 근이 있는 것이니 상수항이 0이 아닌 경우를 생각합니다. 간단히 저번 영상에서 소개하였던 x^5-x-1=0을 가지고 설명하겠습니다. 미지수를 복소수를 나타내는 문자 z를 써서 바꾸어 놓구요.
여기에서의 다항식을 하나의 다항함수로 생각하여 함수의 값이 어떻게 변해가는지 따져보겠습니다.
먼저 z=0인 경우입니다. 당연히 -1이죠.
그 다음에 z의 절대값이 아주 작은 경우, 즉 원점 근처에 아주 작은 원을 그려보겠습니다. 이때 함수값들을 표시하면 어떻게 될까요?
z^5, z의 크기들은 아주 작기 때문에 이들을 더한다고 해 봤자. 이 정도 원을 벗어나지 못합니다. 결국 함숫값들은 -1 근처의 작은 원에 모두 표시되겠군요. 작은 원에서 한 바퀴 돌 때, 대략 한 바퀴 도는 상황으로 말이죠. z의 5제곱의 크기는 너무 작아 이 경우에는 -z항이 중요한 역할을 하네요.
이번에는 원점을 중심으로 아주 큰 원으로 그려서 그 원을 한 바퀴 돌아보겠습니다.
이때 함숫값들은 어떻게 표시되죠?
z^5으로 묶어서 함수를 변형해보겠습니다.
괄호 속에 있는 값 중 1/z^4, 1/z^5 들은 그 크기가 아주 작겠죠? 결국 1근처에서 움직입니다. 최소 크기, 최대 크기가 이 정도 될까요? 그런데 z^5은 아주 큰 원을 다섯 바퀴 돕니다. 둘을 곱한다고 해도 대략 이 정도 범위에서 움직이면서 다섯 바퀴를 돌게 됩니다.
자, 이제 근이 왜 존재하는지 아시겠나요? 원점이 밖에 있다가 안에 들어가 있기 때문입니다. 처음의 아주 작은 원에서 원의 크기를 살살 크게 하면서 그려보면 밖에 있던 원점이 원 안으로 들어와야 하니까 원점을 지나갈 때가 생겨야 합니다. 그 때가 근이 존재할 때 입니다.
이렇게 어떤 다항식이건 복소수인 근을 반드시 가집니다. 결국은 복소수 범위에서는 해가 완벽하게 발견됩니다. 그런 의미에서 복소수의 집합은 뭔가 완성된 집합입니다. 이를 대수적으로 닫혀있다라고 표현한답니다.
하지만 마지막으로 하나만 짚고 갈께요.
19세기까지의 기준으로 보자면 대수학은 방정식을 다루고 그러면서 수를 다루고, 수 개념을 확정하고 있었습니다. 그러니까 대수학의 기본정리라는 표현이 적당했겠지만 현대의 기준으로는 대수학이 너무 많이 발전하였기 때문에 대수학의 기본정리라는 표현은 적당하지 않습니다. 다항방정식에 대한 기본정리 정도가 적당할 수 있겠네요.