원주율에 대한 정확한 공식이 있습니다. 1673년에 증명된 라이프니쯔 급수입니다. 사실 라이프니쯔 이전에, 그것도 2-300년전에 마드하바라는 인도의 수학자가 이미 발견하여 마드하바-라이프니쯔 급수라고 불리기도 합니다.
고등학교 수준에서 공식을 유도해 보겠습니다.
먼저 등비수열의 합 공식을 사용합니다.
이항한 후에
양변을 적분합니다.
우변의 마지막 부분은 어려운 부분이 아닙니다.
직접 적분하지 않고 부등호를 만들어서 살짝 피해가면 됩니다.
어려운 것은 좌변입니다.
고등학교 교과에서는 적분 기법의 하나인 삼각치환으로 해결합니다.
수학사적으로 보아도 여기가 어려웠습니다.
라이프니쯔는 어떻게 해결했는지 볼까요?
다음 그림을 활용했습니다.
그런데 본격적으로 설명하기 전에 먼저 두 가지 사실을 짚고 가겠습니다. 첫째로 곡선을 분해하여 아주 짧은 직선, 즉 선분들의 합으로 이해한다는 생각입니다. 라이프니쯔 뿐만 아니라 바로 이전 세대의 수학자인 페르마, 동시대 과학자인 뉴턴 등의 많은 연구자들에게 큰 영감을 주었습니다.
두 번째는 모멘트(moment)라는 용어입니다. 이 영상에서는 편의상 거리-길이 곱이라고 부르겠습니다. 거리-길이 곱은 지렛대의 원리를 수학에 적용하는 과정에서 중요한 역할을 합니다. 라이프니쯔의 증명에서 등장하는 거리-길이 곱은 x 곱하기 ds입니다. 이때의 xds는 아주 작은 넓이, 결과적으로는 무한소의 넓이를 표현하는 양인데 우선은 수식 유도를 위한 보조 수단 정도로만 생각하면 됩니다.
이제 설명을 시작하겠습니다. 반지름이 1인 원입니다.
호 AT위에 한 점 B에서 아주 짧은 길이의 선분을 생각합니다. 방향은 물론 접선 방향입니다. B에서의 접선을 그리고 A에서의 접선과 만나는 점을 P라 합니다. B에서 OA에 내린 수선의 발을 D라고 그 길이를 x라 하겠습니다. AP의 길이를 y라 하고 BD의 연장선 위에 y만큼 선분을 세웁니다. 호 AT위의 점 B를 달리하면서 그때마다 선분을 세우면 하나의 그래프를 그릴 수 있습니다.
다음으로 x와 y사이의 관계를 얻어보겠습니다.
삼각형 OBD에서 피타고라스 정리입니다.
각도를 표시해 보면
이 그림의 삼각형과
이 그림의 삼각형이 닮음입니다.
닮음비를 써서 관계식을 얻을 수 있습니다.
다음으로 B점에서의 아주 짧은 길이의 선분을 빗변으로 하는 무한소 크기의 삼각형을 생각합니다. 삼각형 ODB와 닮음입니다. 닮음비에서 거리-길이 곱에 대한 다음 식이 얻어집니다.
무한소 크기의 삼각형과 그림의 삼각형도 닮음입니다. 역시 닮음비로부터 거리-길이 곱에 대한 또 하나의 식이 얻어집니다. 이 그림의 빨간 색 사각형과 넓이가 같네요.
두 가지의 변형식을 얻었죠? 이제 호 AT 위의 각각의 점 B에 대해서 이 거리-길이 곱을 모두 더합니다.
왼쪽 식을 사용합니다. 간단히 결과가 나옵니다.
오른쪽 식을 사용합니다. 무한소량을 모두 더하는 것은 결국 적분입니다. 따라서 노란색의 넓이입니다.
그런데 이 넓이는 한 변의 길이 1인 정사각형에서 연두색 부분을 뺀 것과 같습니다.
이제 처음에 얻었던 관계식을 써서 이 적분을 바꿀 수 있습니다.
드디어 마드하바-라이프니쯔의 급수 공식을 얻었습니다.
마드하바-라이프니쯔의 이 급수 공식은 원주율에 관한 놀라운 공식입니다.
하지만 놀라운 계산 능력을 가진 컴퓨터 시대 입장에서 보아도 수렴 속도가 너무 느리다는 단점이 있습니다.
//쇼츠대본//
아르키메데스는 정96각형을 원에 내접, 외접시키면서 원주율의 범위를 얻었습니다.
원주율에 대한 정확한 공식은 1673년 라이프니쯔에게서 처음 나타납니다.
그런데 이 공식은 실질적으로 쓸모가 없습니다. 수렴 속도가 너무 느립니다.
5000항까지 계산해도 벌써 네 번째 자리부터 오차가 나타납니다.
그래서 속도가 빠른 공식을 써야 합니다.
이런 걸 쓰면서부터 기록이 급격히 향상됩니다.
그런데 최근에는 와이-크런쳐라는 프로그램을 많이 쓴다고 합니다. 라마누잔의 공식을 사용하여 얻어낸
가장 최근의 기록은 검증 완료를 기준으로 2021년 무려 소숫점 아래 62조 8천억 자리까지입니다.
원주율의 자릿수 계산은 단지 재밋거리가 아닙니다. 컴퓨터의 성능 검증에 쓰일 뿐만 아니라 계산 기법을 응용하여 다양한 분야에 활용할 수도 있습니다. 더 나아가 수학적으로 새로운 질문을 하는 무대가 되기도 합니다.
원주율에 나타나는 자릿수들을 보시죠! 매우 균등하게 나옵니다.
그렇기에 수학자들은 파이의 자릿수 배치에서 무작위성이 발견되는 것은 아닌지 의심하고 있습니다.
언젠가는 Shakespeare 전집을 10진법으로 써놓은 배열이 발견될 수도 있습니다.
도대체 규칙성 속에 무작위성이 어떻게 숨어있는 것일까요?
//쇼츠2
원주율이 제 정신인 수라고 소개해드렸었죠?
//(화면) 죄송합니다. –> normal number 정상적인 수
(화면) 죄송합니다.–> normal number 정규적인 수
오늘은 원주율에 무작위성이 어떻게 숨어있는지 알려드릴께요.
원주율 속에서 한글 단어를 찾아보겠습니다.
먼저 한글을 수치화해야겠죠? 간단히 유니코드를 이용하겠습니다.
http://kor.pe.kr/convert.htm
한 음절에 대한 유니코드는 10진법으로 다섯자리 수입니다.
2억자리까지 검색한 결과 한 음절은 모두 찾을 수 있습니다.
두 음절만 해도 10자리라서 쉽진 않지만 “증명”이라는 단어를 찾을 수 있습니다.
//(화면)Search For:
Results
The string 5161347749 occurs at position 118038117. This string occurs 1 times in the first 200M digits of Pi.
The string and surrounding digits:
88760081954328955544 5161347749 56683061730025055052//
좀 더 많은 자릿수를 검색할 수 있다면 “증명하지만 믿을 수 없다”를 찾을 수 있습니다.
그리고 언젠가는 셰익스피어 전집이 원주율 속에 숨겨져 있다고 밝혀질 수도 있게 되는 겁니다.
//(화면) 셰잌스피어 나는 또 왜?