증명하지만 믿을 수 없다(7)-구의 겉넓이

아르키메데스는 구의 부피를 이용해서 구의 겉넓이를 구했습니다.
아르키메데스의 생각의 흐름을 쫓아가 보겠습니다. 구의 표면을 아주 작은 도형으로 나눕니다. 그리고 하나하나의 작은 도형을 밑면, 구의 중심을 꼭짓점으로 하는 다각뿔로 구를 쪼갭니다. 정확히는 거의 다각뿔로 볼 수 있는 입체 도형이겠죠. 그 부피는 뿔의 부피공식에 따라서 1/3 밑넓이 높이입니다. 높이는 모두 구의 반지름과 같으니 이들을 모두 더해서 묶어내고 식을 정리합니다.
1/3 밑넓이1 높이 + 1/3 밑넓이2 높이 + … = 1/3 (밑넓이1+밑넓이2+…) 높이 = 구의 부피
입니다. 따라서 구의 겉넓이가 바로 얻어지네요.
하지만 이건 어디까지나 발상일 뿐입니다. 증명은 아닙니다. 그의 표현을 빌리면 단지 “질문들에 대한 어느 정도의 지식을 사전에 획득”하는 과정이었을 뿐입니다.
이미 소개한 바 있던 실진법에 의한 엄밀한 증명은 하지 않겠지만 아르키메데스의 기하학적인 증명의 핵심을 이야기해 보겠습니다.
아르키메데스는 층층히 쌓은 원뿔대를 구에 내접시키고 외접시키면서 구의 부피 뿐만 아니라 구의 겉넓이도 구하였습니다.
구를 자릅니다. 이 부분의 넓이를 구해 보겠습니다. 이 부분을 원호 가 아니라 선분이라고 생각합니다. 길이는 s입니다. 물론 이것은 아주 짧은 길이의 선분이며 접선 방향으로 놓여 있습니다.
여기에 실을 원형으로 감습니다.
한 겹으로 겹치지 않게 빼곡히 감습니다. 그러면 실의 길이의 총합이 결국은 아주 얇은 원뿔대의 옆넓이와 같다고 할 수 있습니다. 그런데 비스듬히 놓여 있기 때문에 각각의 원의 둘레의 길이는 다릅니다. 하지만 이렇게 두 개씩 짝을 지으면 그 둘의 둘레의 합은 반지름이 b인 두 원의 둘레의 합과 같습니다. 그렇기 때문에 모든 원을 반지름이 b인 원과 같다고 해도 됩니다. 이제 실의 폭을 d라고 하면 원의 개수를 구할 수 있어서 실의 길이의 총합, 즉 겉넓이는 이렇게 나옵니다.
닮음을 이용하면
실의 길이의 총합은 이렇게 바뀝니다.
놀랍게도 같은 폭의 원기둥에 실을 감았을 때와 똑같이 나옵니다. 다시 말해서
이 부분의 겉넓이와
같은 폭의 이 부분의 겉넓이는 같습니다.
결국 구의 겉넓이는 원기둥의 옆 넓이와 같습니다.
이것이 아르키메데스의 생각입니다.

//쇼츠
문제를 하나 풀어봅시다.
오렌지가 있습니다. 오렌지 껍질을 같은 폭으로 잘라냅니다. 까는 거죠.
그런데 정확히 높이 기준으로 같은 폭으로 껍질을 벗겨냅니다.
중앙 부근에서 벗겨낸 것, 끝 부분에서 벗겨낸 것, 그 둘의 중간 부분쯤에서 벗겨낸 것
어느 것이 더 넓은 겉넓이를 가졌을까요?
3..2..1
모두 똑같습니다.
왜냐하면 아르키메데스가 발견한 방법으로 구의 겉넓이를 살펴보면 이것과 이것의 넓이는 같기 때문입니다.