진선여고 2022 2-1 수1중간 변형
18. 좌표평면에서 곡선 y=2^x위의 점 A(x_1, y_1), 곡선 y=log_3 x위의 점 B(x_2, y_2)가 있다. 원점 O에 대하여, OA=OB를 만족할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, 0<x_1<x_2)
ㄱ. x_2<y_1
ㄴ. y_2-y_1<x_1-x_2
ㄷ. (y_1-x_1)^2<|(x_1-x_2)(y_1-y_2)|
공간풀이법:가설의 설정
조건공간= 적절한 그림을 그려서 조건 공간을 완성합니다.
개념공간
목표공간==옳은 보기를 고르는 문제, 합답형 문제라고 하죠, 에서는 보통 위아래가 연결된 경우가 많습니다. 이 경우도 과연 그럴까요?
ㄴ하고 ㄷ에서 공통인 부분이 나타나니 한번 시도해 봅니다. 그런데 논리는 정확해야 합니다.
그 전에 할 일이 꼭 하나 있네요. 지수 함수와 로그 함수를 한 번에 모두 다루기 보다는 지수 함수 만으로 문제를 통일합니다. 로그 함수로 통일해도 상관은 없겠죠?
ㄱ의 판정
ㄱ을 바로 판정할 수 있습니다. //ㄱ은 거짓//입니다.
ㄴ의 판정
기울기가 -1인 두 직선을 그어봅니다. //ㄴ은 참//입니다.
ㄷ의 판정
ㄴ에서 알아낸 사실이 있습니다.
y_2-y_1<x_1-x_2<0
따라서 다음이 성립합니다.
(x_1-x_2)^2 < |(x_1-x_2)(y_1-y_2)|
만약 이 부등식이 성립한다면 좋겠네요.
(y_1-x_1)^2 < (x_1-x_2)^2
맞을까요?
y_1-x_1 < x_2-x_1
성립합니다.
//ㄴ, ㄷ이 옳습니다.
공간학습법: 하지만 정확한 논리를 만들자.
대충대충 식을 쓰지말고 풀이를 정확히 쓰는 연습을 합니다.
풀이를 정확히 만들다 보면
내 풀이가 틀렸는지
내 풀이가 틀리게 가고 있는지를
자동적으로 알 수 있습니다.
풀이의 수식을 정확히 만들고 그 수식에 의거해 객관적으로 판단하는 연습을 꾸준히 해야 합니다.
식에 의거하지 않고 주관적인 느낌으로만 풀이를 만들다 보면 풀이가 엉성하게 앞뒤로 연결되지 않습니다. 억지로 붙여 놓은 느낌도 나게 됩니다.
풀이를 검토해 내는 능력은 풀이 자체에서 만들어집니다.
다음에 더 좋은 문제로 만날께요!!
21. 좌표평면에서 a>1인 실수 a에 대하여 함수 f(x)=log_a(x+4|x|)의 그래프와 직선 y=k의 두 교점을 A, B라 하고, 곡선 y=f(x)위의 점 중 A, B가 아닌 점을 C라 할 때, 세 점 A, B, C는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 A 는 제 1 사분면의 점이다.
(나) 점 C의 x 좌표는 1/25이고, 점 A와 점 C의 중점은 x축 위에 있다.
(다) <ACB = 90^O
k=q/p 일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, k는 상수이고, p,q는 서로소인 자연수이다.)
공간 풀이법: 논리적으로 일직선형의 문제
조건과 목표를 분리하면서 풀이를 시작합니다.
중간에 풀이 공간을 엽니다.
//함수를 정리//합시다.
x>0 log_a(5x)
x<0 log_a(-3x)
(나)에서 C(1/25, -log_a5). 따라서 A의 y좌표는 +log_a5여야 하며 A(1, log_a5).
이제 k=log_a5이며 B(-5/3,log_a5).
//그림을 되돌림//
이제 //기울기 계산//을 합니다. 수직 조건을 쓸 수 있습니다.
2log_a5 / 24/25 * -2log_a5 / 128/75 = -1.
정리하면 k^2 = 256/25^2. //k = 16/25//입니다.
답이 얻어집니다.
공간 학습법: 조건을 줄 세우자.
적용할 수 있는 조건부터 찾아내서 차례로 줄 세우면 되는 매우 일직선적인 문제입니다. 문제가 직선과 관련이 있다는 뜻이 아니고 조건을 분석하는 과정에서 이 조건, 저 조건 왔다 갔다 할 필요가 없이 하나하나의 조건을 차례로 적용해 보면 된다는 뜻입니다. 이 경우에는 함수를 정리하고, 조건 가, 나, 다를 순서대로 풀어나가면 됩니다. 적용의 순서도 고민할 내용이 없네요. 경우에 따라서는 어떤 조건을 먼저 적용해야 할 지 생각하기가 매우 힘들 때도 있습니다.
실제 시험에서 이 문제를 본다면 어렵다기 보다는 앞 부분 문제들을 얼마나 빨리 얼마나 정확하게 풀었느냐가 관건이 되는 문제였겠네요.
다음에 새로운 문제로 만날께요!