AIME 정복하기(2)

AIME정복-2

테오쌤: 코로나 시기 이후에 유학에 대한 관심이 다시 서서히 커지고 있습니다. 유학 열풍이 불던 시기에는 최상위권 학생들이 몰리다가 한 풀 꺾이고 나서는 … 그런데 요즘은 최상위권 학부모님들 사이에서도 유학에 대한 관심이 다시 나타나고 있습니다. 의대 정원 문제로 시끄러운 요즘 쉽게 해결될 문제가 아니라는 인식도 한 몫하고 있는 듯하네요. 그래서 오늘은 미국 수학 경시대회 문제를 하나 가져와 봤습니다. 미국 경시대회는 첫 단계가 AMC입니다. 8학년, 10학년, 12학년용으로 세 가지 수준이 있고 여기에서 통과하면 그 다음 단계가 AIME입니다. 여기를 통과하면 그 다음 단계는 AMO입니다. 미국 전체를 통틀어 AIME를 통과한 2~300명 정도의 학생들이 경쟁하여 AMO 대회를 치루는데, 최종적으로 국제 수학 올림피아드 IMO를 위한 미국 대표 선정이 이루어집니다. 시민권자가 아니면 참가만 할 수 있고, 선정은 되지 않습니다. 한창 미국 유학에 대한 관심이 높았을 때에는 AIME를 통과하는 것 만으로 MIT는 이미 합격이다라고 인정받던 적이 있었습니다. 오늘의 문제는 2019년 AIME 12번 문제입니다.

Given 

$f(z) = z^2-19z$

, there are complex numbers z with the property that z, f(z), and f(f(z)) are the vertices of a right triangle in the complex plane with a right angle at f(z). There are positive integers m and n such that one such value of z is 

$m+\sqrt{n}+11i$

. Find m+n.

복소평면이란?
복소수의 표현 – 직선좌표 형식의 표현과 극좌표 표현
덧셈과 뺄셈은 직선좌표 형식, 정확히는 카르테시안 좌표가 편하고 곱셈과 나눗셈은 극좌표 표현이 유리.
평행이동하여 원점에서 보면 ki꼴이 되어야 한다.

테오쌤: 잘 들으셨나요? 앞으로 관심있는 구독자분들을 위한 미국 경시대회 강좌를 기획하고 있답니다. 많은 관심 부탁드려요.


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