이번 영상에서는 피보나치 수열의 일반항을 구해보겠습니다. 하지만 정작 오늘 영상에서 하고 싶은 이야기는 수란 무엇인가라는 질문입니다. 두 이야기가 어떻게 이어지는지 기대해 주세요!
먼저 피보나치 수열의 일반항을 구해보도록 하겠습니다.
점화식은 저번 영상에서 이야기한 대로 이렇습니다. 일반항을 구하는 여러가지 방법이 있겠지만 잘 알고 있는 등비수열로부터 시작하죠.
먼저 피보나치 점화식을 만족하는 등비수열이 있는지 볼까요? 등비수열 A_n을 생각합니다. 간단히 1로 부터 시작하여 공비인 x를 곱해가는 수열입니다.
1, x, x^2, …
0항부터 시작한다고 생각하면 이 등비수열의 일반항은 간단히 A_n = x^n입니다.
이 수열이 피보나치 수열의 점화식, 정확히는 인도의 수학자 핑갈라의 점화식을 만족한다면 어떻죠?
1+x=x^2입니다.
간단히 풀 수 있죠?
근의 공식을 쓰면 바로 되는데 간단히 변형해 놓고 쓰겠습니다.
(2x-1)^2=5
한 근은 다름 아닌 황금비의 값이네요. 사실 처음의 이차방정식 1+x=x^2
은
x+1:x=x:1이라는 식, 즉 황금비를 구하면서 나오는 식입니다. 근이 되는 황금비의 값을 파이라고 부르겠습니다.
1, 파이, 파이^2,…
이 수열은 핑갈라의 점화식을 만족합니다.
A_n+2=A_n+1+A_n
자, 등비수열이지만 피보나치 수열의 점화식을 만족하는 수열을 찾았습니다.
그런데 이차방정식 1+x=x^2은 근이 하나 더 있습니다. 그 다른 근으로부터 등비수열을 만들 수 있고, 역시 동일한 관계식을 만족합니다. 만족해야 합니다. 다른 근을 사이라고 부르겠습니다. 그리고 이것으로부터 만든 등비수열을 B_n이라 하죠.
B_n+2=B_n+1+B_n
이제 여기서 한 발자국 더 나갑니다.
수열 A_n, B_n의 첫번째 항들을 1에서 다른 수로 바꾸어 볼까요? 그러니까 등비수열의 처음 항을 아무런 수나 가져와서 정하자는 거죠.
cA_n, dB_n처럼 말이죠.
역시 만족합니다.
이제 이렇게 만든 두 수열을 더하거나 빼 봅니다.
놀랍게도 여전히 피보나치 수열의 점화식을 그대로 만족합니다. 이제 어떻게 하면 좋을지 아시겠죠?
점화식이 똑 같은 두 수열을 일치시키려면 어떻게 할까요?
처음의 두 항을 일치시키면 됩니다.
A_n이 있죠. B_n이 있죠.
0항을 일치시키기 위해서 서로 뺍니다.
이제 1항을 일치시키기 위해서 1항의 값 파이 빼기 싸이의 값으로 나눕니다.
이것이 바로 피보나치 수열의 일반항입니다.
피보나치 수열에는 무리수는 커녕 분수조차 보이지 않는데 이것이 과연 일반항이냐구요?
신기하죠?
이것은 비네 공식(Binet’s formula)이라고 하는데 레온하르트 오일러가 1765년 처음 발표했으나 잊혀졌다가, 1848년 자크 비네에 의해 재발견되어 그의 이름이 붙었습니다.
근사값으로 보자면, 음수인 싸이의 값은 -0.618 정도라서 엔 제곱을 하면 급격히 0에 가까워집니다. 사실상 공비가 황금비 파이인 등비수열로 볼 수 있는 거죠.
무리수를 이용하여 정수 값을 갖는 수열을 다루어가는 접근법이 신기하긴 하지만 이것이 수의 성질, 수의 본질과 무슨 관련이 있냐구요?
그래서 이번에는 똑같은 피보나치 수열을 나머지의 관점에서 살펴보겠습니다. 저번 영상에서는 나머지는 반드시 순환하게 된다는 이야기를 했었죠.
이제는 나머지의 일반항을 구해보겠습니다. 어떤 수를 정하여 피보나치 수들을 그 수로 나눈 나머지를 구해 놓고 그 일반항을 구해보려고 합니다. 피보나치 수열을 먼저 구해놓고 그 다음에 나머지를 구하는 것이 아니라 나머지를 직접적으로 일반항으로 표현해 보겠다는 이야기인데요,
그런데 비네의 공식으로 주어진 일반항에 대해서 나머지를 곧바로 구할 수는 없겠네요. 무리수가 등장하는 식이라서 말이죠…
그래서 처음부터 다시 시작합니다. 먼저 어떤 수를 정합니다. 소수로 정합니다. 합성수라면 소인수들의 주기를 이용하여 구할 수 있을 듯 하니까요.
예를 들어 소수 p=11을 생각합니다.
앞에서 생각했던 방식 그대로 생각하기 위해서 이차방정식
1+x=x^2부터 풉니다.
결국
(2x-1)^2=5을 푸는 것인데 지금 우리는 나머지를 기준으로 생각하고 있다는 점을 확실하게 생각하면서 풀어야 합니다. 그러니까 우리가 생각하는 수의 집합이 {0,1,2,…,10}인 거죠.
잠깐 이 부분을 짚고 넘어갈까요? 11로 나눈 나머지들의 모임인 이 집합은 그 원소들이 수라기보다는 나머지가 같은 수들의 모임입니다. 이 수의 집합이라는 게 결국은 하나의 모임의 모임인 셈입니다.
그러니까 이 집합에서의 0은 하나의 수라기보다는 하나의 모임이며, 그 모임의 대표를 0이라 부른 상황입니다.
0={… -22, -11, 0, 11, 22, …}
사실 모임의 대표는 아무 수나 상관없습니다. 필요에 따라서 적당한 수를 대표로 불러도 됩니다. 예를 들어
10={…, -1, 10, 21, …}이라서 10대신 -1이라고 해도 됩니다.
왜 이런 것이 가능하냐면 나머지 계산은 매우 확정적이기 때문입니다. 예를 들어
2={…, -9, 2, 13, 24, …}와
5={…, -6, 5, 16, 27,…}에서 각각 한 수씩 어떤 두 수를 꺼내와서 더하더라도 그 나머지는 반드시 7입니다. 즉 그 결과는 반드시
7={…, -4, 7, 18, 29,…}
에 속하며 어떤 때는 7에 속하고 어떤 때는 다른, 예를 들어 9에 속하는 일은 절대 없습니다. 한번 그 결과가 7에 속하면 다른 모든 경우에 그 결과는 7에 속합니다. 뺄셈도 마차가지입니다. 2-5의 결과는 반드시 -3=8에 속합니다. 곱도 마찬가지라서 그 결과는 반드시 10에 속합니다.
언뜻 불확정적으로 보이긴 하지만 이렇게 나머지 계산은 매우 확정적입니다.
일반적인 연산이 아니라 나머지 연산을 하고 있다는 점을 기억하면서 앞의 이야기로 되돌아가겠습니다.
(2x-1)^2=5을 푸는 상황이었죠?
제곱근 5 =2.2…와 같은 수를 생각하지 마시구요, 하나하나 직접 대입해 봅니다. x=4와 x=8 정확히 두 개의 근이 얻어지는군요. 처음의 식에 대입해 보니 나머지 기준으로 정확히 일치합니다.
따라서 이 수의 집합, Z/11Z라고 표현하는 데요, 에서는 파이에 해당하는 수가 8, 싸이에 해당하는 수가 4입니다. 아 물론, 거꾸로 해도 상관없습니다. 파이가 4, 싸이가 8으로요.
그러면 어떻게 될까요?
8^n-4^n / 8-4으로 일반항이 구해집니다.
아 그런데 한 가지 짚어야 할 점이 있군요. 나누기입니다. 8-4로 나눈다는 뜻은 무엇인가요?
비네의 공식을 만들었을 때 왜 나누었나요? 그 의도를 떠올리면 됩니다. 제 1항을 1로 만들기 위해서였죠? 나누기의 의도, 나아가서 나누기의 의미는 바로 이것입니다. 8-4=4로 나눈다는 것은 4와 곱했을 때 1이 되는 수를 찾아 곱한다는 의미입니다.
나눗셈은 곱셈의 반대 연산이기 때문에 역수를 찾아서 곱한다라고 생각을 바꾸어 하자는 뜻입니다.
지금 우리는 11로 나눈 나머지집합을 생각하고 있죠. 4와 곱해서 1이 되는 수는 바로 3입니다. 4곱하기 3 =12=1이니까요. 아 참고로 나머지가 같다는 뜻의 등호는 바로 합동기호를 사용합니다.
이미 앞에서부터 계속 쓰고 있었네요.
그래서 피보나치 수열을 11로 나누었을 때 나타나는 나머지의 일반항은 다음과 같습니다.
간단히 확인해 볼까요?
만약 p=19인 경우라면 어떨까요? 9^2=81=4 19+5=5
(-9)^2=10^2=100=5 19+5=5이니
(2x-1)^2=5에서 x=5와 x=-4=15가 얻어지고
나머지의 일반항은 5^n-(-4)^n / 5-(-4)
한편 9 곱하기-2=-18=1에서 -2(5^n-(-4)^n)가 나옵니다.
간단히 상황을 정리해 볼까요? 소수 p가 있습니다. x^2=5인 수가 있다면 그 수들로부터 x^2=x+1인 수들을 구할 수 있습니다. 각각 파이와 싸이라고 하면 소수 p에 대한 나머지의 일반항은 이렇습니다. 겉보기에는 비네의 공식과 완전히 모양이 같군요 하지만 각각의 소수 p에 대한 값들은 서로 달랐습니다.
이제 이 공식으로부터 나머지가 순환한다는 사실을 직접 유추해 보겠습니다.
그런데 페르마의 생각, 페르마의 직관이 하나 필요하군요. 이전 영상에서 이야기하였던 페르마의 작은 정리입니다. 소수 p에 대해서 a^p=a기억하시죠? 하지만 위대함이 넘쳐나는 수학자 페르마처럼 이거 증명할 수 있겠지?라고 넘어갈 수는 없으니 간단히 증명부터 하고 가겠습니다.
p개의 작은 동그라미가 한 줄로 있습니다. 여기에 a가지의 서로 다른 색을 칠하는 방법을 생각합니다. 당연히 a^p입니다. 그 중에는 한 가지의 색으로만 칠해지는 방법들이 있습니다. 정확히 a가지죠? 따라서 남은 a^p-a가지의 모든 칠하기 방법들은 적어도 두 가지의 색이 섞여 있습니다.
이렇게 칠해진 줄을 동그랗게 말아 놓습니다. 그리고 이렇게 말아 놓은 줄을 한 칸씩 돌린다고 생각합니다. 한 칸 한 칸 돌리는 동안 서로 다른 칠하기 방법들이 나옵니다. 정확히 p개의 서로 다른 칠하기 방법들이 나오는군요.
반드시 이렇습니다. 왜 그럴까요? p가 소수이기 때문입니다. 예를 들면 9개의 동그라미를 늘어놓았다면 3칸 움직였을 때 똑같은 배열이 얻어지는 상황이 생길 수 있습니다. 완전히 한 바퀴를 돌리면 처음의 칠하기로 되돌아오기 때문에 중간에 같아졌다면 9의 약수인 3에서 같아지는 일이 가능합니다.
하지만 소수라면 이런 일이 없죠? 항상 p개의 서로 다른 배열들이 나옵니다.
그러니까 a^p-a개의 배열들은 이런 방식으로 p개씩의 묶음으로 묶어낼 수 있습니다. 반드시 p의 배수라는 뜻이죠.
그래서 a(a^p-1-1)=0에서 a가 p를 인수로 가지고 있지 않다면 a^p-1-1=0 a^p-1=1이 나옵니다. 페르마의 작은 정리, 페르마의 소정리입니다.
그러면 이제 되었네요.
나머지 일반항 공식으로부터 F_p-1=0이 나옵니다. 더구나 F_p=1이 나오네요. 그러니까 p^2까지 갈 필요없이 p-1에서 벌써 되풀이되는 일이 벌어지는군요. 적어도 주기는 p-1을 넘지 않습니다.
아, 이 수의 집합, 이 수의 세계에서는 0,1 2, 3,…p-1까지 커졌다가 다시 0으로 돌아오는 순환 구조라서 p에 해당하는 수는 다시 0인데 p제곱, p+1제곱들은 뭐냐구요? 수는 그렇게만 존재하지만 연산을 되풀이한다는 의미에서의 자연수 개념은 존재합니다. 아니, 존재해야 합니다. 단지 곱셈이라는 연산을 차례차례 되풀이해 나가면서 그 결과를 구한다는 뜻입니다.
하지만 아직 우리의 방법은 완벽하지 못합니다.
왜냐하면 방정식의 해가 존재하지 않을 수도 있기 때문이죠. 방정식의 해가 존재하지 않는다면 쓸모가 없습니다.
예를 들어 p=7인 경우를 보면 제곱이 5인 경우가 없습니다. p=13인 경우도 제곱이 5인 경우는 없군요…..
이때에는 어떻게 하면 좋을까요? 방법이 없을까요?
다음 방정식이 실마리입니다.
x^2+1=0
무슨 뜻이냐구요? 보통의 실수 집합에서 이 방정식은 근은 뭐죠? 사실은 없었죠? 그래서 어떻게 했죠? 그렇습니다. 창조하면 됩니다.
없는 근을, 그것도 허구적이라고 수식어를 붙이긴 했지만 억지로 수를 만들어 냈쟎아요!
여기에서도 그렇게 해봅니다.
x^2-x-1=0 (2x-1)^2=5
인데 두 근을 만들어내죠! 존재한다고 우기는 겁니다. 아, 보는 관점에 따라서 그렇다는 겁니다. 이 수집합의 입장에서 보면 허수라면 허수라고도 할 수 있는 수, 바로 이 세계에서의 제곱근 5를 만듭니다. 그러면 두 근을 구할 수 있겠죠?
각각 파이와 싸이라고 하겠습니다. 근과 계수와의 관계를 통해 파이+싸이=1, 파이싸이=-1을 얻을 수 있습니다. 물론 (파이-싸이)^2=(파이+싸이)^2-4파이싸이=5가 되겠구요. 그러니까 파이 빼기 싸이는 이 수의 세계에서는 일종의 허수죠? 제곱해서 5가 되는 수가 없는 수의 집합이었쟈냐요!!
너무 황당한가요? 제정신을 가지고 수학하기는 조금 힘들듯 하죠?
간단히 확인해 보겠습니다.
(2x-1)^2=5 2x-1=+-r5 2x=1+-r5
2로 나누기 위해서 여기에서 또 마술을 부립니다.
2x=8+-8r5
x=4+-4r5
이중에 하나를 파이, 나머지를 싸이라 합니다. 앞의 계산과 맞추기 위해서 파이=4+4r5, 싸이=4-4r5라 하겠습니다.
파이-싸이=8r5=r5. 그러니까 파이-싸이는 이 수집합에서의 제곱근 5 맞죠?
이 근들, 그러니까 가상적인 근들을 사용하여 똑같은 비네의 공식을 만들 수 있습니다. 아니 어쩌면 이런 가상적인 상황에서도 비네의 공식을 쓸 수 있게 된다라고 표현하는 것이 맞을라나요?
예를 들어 p=7인 경우에 F_4 한번 계산해 보겠습니다.
맞죠?
사실 파이-싸이로 나눈다는 것은 제곱근 5의 역수인 3루트5를 곱한다는 것입니다. 15=1이니까요.
없는 것을 가져와서 더구나 계산까지 한다니 황당하기 그지없죠? 더구나 그 결과가 맞기까지 합니다. 하지만 이미 허수를 배웠을 때 계속 해 오던 일이었습니다.
이제 제곱근 5가 허수인 이 수집합에서 주기를 찾아보겠습니다.
다음 식의 양변을 제곱하고 다시 p-1 제곱합니다. 페르마의 작은 정리 때문에 결국은
(파이-싸이)^p-1=-1이 나옵니다. 만약 그 값이 +1이라면 파이-싸이는 이 수 집합안에 존재하는 수 중에 하나여야 합니다. p-1차 다항식이라서 근이 p-1개가 최대인데 이 수 집합 안의 원소들은 페르마의 작은 정리 때문에 모두 근이 됩니다. 파이-싸이는 근이 될 수 없죠!!
그래서 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다.
(파이-싸이)^p-1=-1
이 식을 (파이-싸이)^p=-1(파이-싸이)
와 같이 바꾸고 거듭제곱을 전개합니다.
일반적으로 (x+y+..)^p을 전개해 보겠습니다.
그리고 한 가지 마술을 부리겠습니다. 예를 들어 (x+y+z)^p을 전개합니다.
차례로 생각해 볼까요?
(x+y+z)^2=xx+xy+xz+yx+yy+yz+zx+zy+zz
그러니까 곱셈은 하지말고 우선은 분배법칙에 의한 전개만 해봅니다.
모두 3^2=9의 항들이 생겼죠?
p제곱은 어떨까요? (x+y+z)^p
을 전개하면
우선 p개의 길이를 갖는 항들만 나옵니다.
모두 3^p개의 항들이 나옵니다.
xxx..x = x^p, yyy…y=y^p, zzz…z=z^p인 항은 정확히 한 번씩 나옵니다.
그 나머지 항들은 어떨까요?
앞에서 페르마의 작은 정리 증명할 때 했던 생각을 그대로 해보겠습니다. 예를 들어
x^p-1y으로 정리되는 항, 즉 x가 p-1개 나열되고 y가 한 번 나오는 항은 어떻죠? 정확히 p번 나옵니다. 즉 이 수집합에서는 x^p-1y이 정확히 p번 더한 항이 하나 나오는데요…. 그런데 이것, 어떤 수를 p번 더한 것은 바로 0입니다. p가 0이기 때문입니다. 다른 어떤 항들을 생각해도 마찬가지입니다. 모두 없어집니다.
그래서 놀라운 전개식을 만들 수 있습니다.
(x+y+z)^p= x^p+y^p+z^p
이렇게 전개된다면 중학교 수학이 훨씬 쉬워졌을 텐데요….
그렇지만 이것은 Z/pZ의 집합에서 그것도 정확히 p제곱일 때 뿐입니다. 아쉽게도 말이죠.
이제 계산할 수 있습니다.
(파이-싸이)^p =파이^p-싸이^p=-1(파이-싸이)
(파이+싸이)^p =파이^p+싸이^p=1=파이+싸이
그러면 연립방정식으로 풀 수 있습니다.
파이^p=싸이. 싸이^p=1=파이
그러면 파이^p+1=파이싸이=-1= 싸이^p+1=1=파이싸이
나머지에 대한 피보나치 일반항에 넣고 계산하면
F_p=-1, F_p+1=0입니다. 그러면 F_p+2=-1일텐데 p+1항부터는 처음 0항부터의 값에 정확히 -붙인 항들이 나오겠군요. 따라서 F_2(p+1)=0, F_2(p+1)+1=1. 드디어 순환합니다. 역시 p^2보다 훨씬 작은 값에서 말이죠.
여기까지 피보나치 수열의 주기성에 대한 설명이었습니다.
중간부분까지는 별 부담없이 받아들이셨겠지만 마지막 부분, 즉 없는 수를 만들어내는 부분에 대해서는 어떠셨나요?
수라기보다는 너무 인위적으로 기호를 만들어 쓰고 있다는 느낌을 받으셨나요? 수가 아니라 뭔가 기호를 조작하고 있다는 느낌. 하지만 놀랍게도 그 기호들은 실재의 피보나치 수열에 대한 정확한 결과를 알려주고 있었죠?
바로 그것 때문 시작하는 부분에 수란 무엇인가에 대한 질문을 해 보았던 것입니다.
수란 실재하는가? 단지 관계에 불과할 뿐인가?
수는 실재인가요? 왜 그렇게 생각하시나요? 수를 작도할 수 있기 때문에? 수를 실재의 기하학적인 대상에 표현할 수 있기 때문에?
그렇다면 허수단위 i는 어떤가요? 여러 번 복소평면을 이야기하면서 복소평면에 여러 복소수들을 표현해 보았었습니다. 물론 i도 표현할 수 있구요. 기하학적인 대상으로 실재화할 수 있으니 허수도 완전한 실재인 거네요?
잘 알고 있는 제곱근 2라는 수는 어떤가요? 우리가 잘 알고 있다고 생각하는 루트 2는 결국은 제곱하여 2가 되는 수라는 어떤 관계로 정의됩니다. 그렇다면 제곱근 2도 수라기보다는 언어를 통하여 주어지는 관계 아닌가요?
수는 단지 언어적 관계를 표현한 기호일 뿐이고, 계산이라고 하는 수학적인 작업도 단지 언어적 관계를 기호화한 것일 수 있습니다.
19세기 독일의 수학자 크로네커 (Leopold Kronecker, 1823~ 1891)는 “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk “(“신이 정수를 만들었고 나머지는 모두 인간의 일이다”)라는 말을 남겼죠.
그런데 정말로 그럴까요? 허수 i, 제곱근 2 와 같은 특수한 기호적인 수 뿐만 아니라 친근한 수 2를 생각해 보죠.
그냥 2라는 수에 대해서도 우리는 아주 확실하게 알고 있다고 생각하고는 있지만 이것도 결국 제곱근 2를 알고 있다고 느낄 때처럼 단지 너무 친근해서 실재한다고 느껴지는, 그러니까 착각의 상황일 수도 있지 않을까요? 단지 우리는 그 관계만을 알고 있는 것일 수도 있습니다.
수의 본질은 과연 무엇인지
제가 여기에 대해서 확실한 답을 드리지는 못하지만
이번 영상에서는 여러분들에게 한번은 생각해 볼 계기를 만들어 주었다는 사실에 만족하기로 하겠습니다.
오늘은 여기까지 입니다. 다음 영상을 기대해 주세요!