공간 풀이법: 계산으로 접근할까? 개념으로 접근할까?
20. 최고차항의 계수가 1인 삼차 다항식 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, f(-2)의 값은?(단, n은 2이하인 자연수이다.)
(가) 다항식 f(x) 다항식 g(x)로 나눈 몫과 나머지는 모두 g(x)-x^n이다.
(나) 다항식 f(x) 를 x로 나눈 나머지는 30이다.
일단 목표 공간은 전체 문제의 상황과는 연관이 없어 보입니다. 그러니까 우선은 그냥 다항식 f(x)를 구하라는 얘기로 해석할 수 있겠습니다. 개념 공간 역시 간단히 정리합니다. 다항식의 연산, 다항식의 나눗셈 – 몫과 나머지 정도로 생각합니다.
풀이 공간으로 갑니다. 일단 f(x) =x^3+…+30라는 것을 쉽게 예상하고요, 문제는 (가)조건이네요. 어렵다면 어렵고 쉽다면 너무 쉬운 조건입니다. 만약 계산으로 접근한다면 어렵겠고요, 개념 그 중에서도 나누는 g(x)와 그 나머지 g(x)-x^n사이의 관계로 접근한다면 아주 쉬운 문제입니다. 다항식의 핵심 개념은 차수입니다. 다항식의 차수는 바로 최고차항에서 얻어지는 개념입니다. 또한 나머지 g(x)-x^n의 차수는 g(x)의 차수보다 작아야 합니다. 이 문제의 핵심이 되는 부분입니다.
그 결과 두 개의 다항식이 얻어지는군요.
아 그런데, 처음 예상과는 달리 구하라는 f(-2)는 구하라는 f(x)와 관련이 있는 문제였군요. 두 경우의 값이 동일하게 나옵니다.
공간 학습법 : 개념을 통해 주어진 상황을 판단하라.
이 문제는 계산 문제입니까? 개념 문제입니까? 간단하지만, 이 문제는 개념 문제입니다. 다항식의 나눗셈에서 몫과 나머지에 대한 내용은 고등학교 수학에서 가장 노력을 드리지 않고 이해할 수 있는 첫 번째이자 마지막 개념입니다.
계산으로 접근한다면 설정해야 할 미지수의 수와 따져 봐야 할 경우의 수가 자꾸만 늘어납니다.
의외로 간단하지만 머릿속에 있는 개념을 통해 주어진 상황을 잘 판단했어야만 하는 문제입니다. 뭐죠? 간단히 말해, 나머지는 차수가 반드시 내려가야 한다, 입니다. 배웠을 때에는 두 번 듣지 않아도 당연한 내용으로 이해되었지만 막상 문제에서 이렇게 쓰려니 쉽지 않습니다. 머릿속에서 뽑아내기가 어렵습니다. 여러분들은 개념을 이해해라, 개념을 충실히 정리하라,… 등등의 이야기를 많이 들어왔습니다. 하지만 막상 어려운 부분은 개념이 아닙니다. 이미 다 지난 후에야 아! 이거였어… 하는 적이 많았던 것 새삼스럽지 않으시죠? 개념은 머릿속 어딘가에 있지만 그것이 뽑혀지지 않는 것이 실제로 해결해야 할 문제입니다. 이 문제에 대해서는 두 가지 질문에 대답하면서 문제를 풀어야 합니다.
첫 번째 질문은 개념으로 접근할 것인가? 계산으로 접근할 것인가? 입니다.
두 번째 질문은 그렇다면 어떤 개념에 주목할 것인가? 입니다.
대답은 개념과 상황을 비교하고 대조하라. 입니다.
오늘의 문제였습니다. 다음에 더 좋은 문제로 만나겠습니다.