안녕하세요. 쌤톡스의 성호쌤입니다. 그 동안의 오랜 경험을 바탕으로 학습에 대한 이야기를 나누어보고 있습니다.
오늘은 정확한 개념 정리에 대해서 이야기해 보려고 합니다. 공간 풀이법으로 문제 풀이 영상을 만들면서 느낀 점이 있습니다. 너무 풀이에 치중하면서 개념 공간의 역할을 소홀하게 다루고 있었다는 생각에 오늘 영상을 만들게 되었습니다.
오늘 말씀하려고 하는 내용에 대해서 좀 더 자세히 말씀해 주세요.
수학은 개념에 기초하기 때문에 개념을 정확히 정리해야 한다고는 많이 이야기 합니다.
확실히 개념 정리가 중요합니다. 올바른 개념을 습득하는 것은
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그렇기 때문에 올바른 개념을 습득하는 것은 수학 공부의 처음과 끝이 되어야 합니다. 개념 정리로부터 시작해야 하지만 한 가지가 빠져 있습니다. 더욱 중요한 알맹이가 있습니다. 개념을 정확하게 정리하기 위해서는 개념을 체계적으로 정리해야 합니다. 오늘 이야기의 핵심은 바로 체계적인 개념 정리에 대한 내용입니다.
개념 공간을 만들어야 하는 이유는 무엇이죠?
개념 공간을 만들어야 하는 많은 이유가 있습니다.
가장 중요한 이유는 주어진 문제가 무엇을 묻는 문제인지, 어느 부분에 위치해 있는 문제인지를 빠르게 판정하기 위해서입니다. 정해진 범위 만을 공부하면 되는 내신 시험에서는 큰 도움이 되지 않는다고 생각할 수 있습니다. 하지만 수능을 보려면 그 모든 내용을 잘 정리하고 있어야 합니다. 물론 내신 시험에서도 최후의 몇 문제는 단지 내신 범위 만을 열심히 공부했다고 해서 풀 수 있는 것은 아니기 때문에 개념 공간의 도움이 확실히 필요합니다.
둘째로는 개념 공간을 만듦으로써 “외로운 섬” 효과를 극복할 수 있습니다.
어떤 하나 하나의 개념들을 별개로 띄엄띄엄 기억하고 있다면 까먹었거나 잘못 기억하고 있을 때,
대책이 없습니다.
눈만 껌뻑껌뻑 대거나 자신의 주장을 반복할 뿐입니다. 개념 하나하나가 외로운 섬이 되어 실제 문제 풀이와의 연결 고리가 제대로 만들어지지 않습니다. 이런 상황이니까 개념 정리는 실제 문제 풀이에 큰 도움이 되지 않는다는 소리가 나옵니다. 사실 개념 정리를 제대로 하질 못하고 있어서죠.
서로 엮어낼수록 개념의 체계를 만들수록 개념을 기억하는 능력이 커집니다. 심지어 어느 하나의 개념을 까먹었거나 잘못 알고 있다고 해서 크게 문제되지 않습니다. 주변 개념과의 비교 검토를 통해서 신속하게 복구해 낼 수 있습니다. 놀라운 능력을 얻을 수 있습니다.
개념 공간은 가장 구조화해야만 하는 공간이며, 가장 아름답게 만들어야 하는 공간입니다.
개념 정리를 어떻게 해야 할지, 개념 공간을 어떻게 만들어야 할지 알려주세요.
개념 정리를 한다는 것은 결국 개념의 체계를 어떻게 만들어야 하는지로 나아가야 합니다. 혹시 공부 잘하는 아이들은 개념 정리가 철저하다라는 이야기 많이 들어보셨죠? 그러면 나도 개념 정리 열심히 해야지 하면서 공부해 봤는데 생각보다 너무 간단한 개념이라서 뭘 그렇게 열심히 정리하라는 거지? 의아했던 적 있으시죠? 고등학교의 수학이라 해도 8~90% 정도의 개념들은 즉시 이해되는 개념들입니다.
놀라셨나요?
사실 중요한 것은 개념과 개념 사이의 관계입니다. 이 부분이 어렵습니다.
그렇기 때문에 개념 정리란 개념의 체계를 어떻게 만들지, 개념의 공간을 어떻게 만들어야 할 지에 대한 고민으로 승화시켜야 올바른 개념 정리에 이를 수 있습니다.
크게 두 가지의 내용을 두 가지의 관점에서 정리하면서 개념 공간을 만들 수 있습니다. 두 가지의 내용이란 개념이라는 내용과 유형이라는 내용이고, 두 가지 관점이란 전개 확장의 관점과 심화 확장의 관점입니다.
그 결과 4차원적인 개념 공간을 만들 수 있습니다.
전개 확장이란 가라는 개념에서 나라는 개념, 다라는 개념으로 새로운 개념, 새로운 내용들이 이어지는 상황으로 이해하면 되고, 심화 확장이란 가라는 개념이 변화 발전하여 갸라는 개념, 더욱 발전하여 거라는 개념 등으로 심화 발전하는 상황으로 이해하면 됩니다.
잘 모르겠어요. 하나하나 자세히 설명해 주세요.
4차원이라고 했는데 차례차례 이야기해 볼께요.
첫째의 차원, 즉 1차원은 내용/개념이 나타나는 순서, 전개되는 순서의 차원입니다.
어떤 수학적 내용을 생각해 봅니다. 예를 들어 미분이 있습니다.
기본적인 의도가 있습니다. 미분의 기본적인 의도는 곡선의 모양에 대해 알고 싶다 입니다. 더욱 간단히 접선의 기울기입니다.
의도를 실현하기 위한 수학적 표현을 만들고 개념화합니다. 평균변화율입니다. 기본 개념이 나타납니다.
기본 개념의 정확한 정의와 그에 따른 성질을 만듭니다. 차례로 순간변화율, 미분가능성등의 개념들이 등장합니다.
공식을 만듭니다. 도함수의 다양한 공식들이 나타납니다.
이제 이것을 가지고 무엇을 할 수 있는지 생각합니다. 사실 수학자들도 몇 십 년, 몇 백 년을 두고 고민하여 왔습니다. 이것도 할 수 있네. 저 것도 할 수 있네.
개념과 내용은 전개는 바로 이러한 흐름을 그대로 재현하면 됩니다.
그런데 이와 같은 개념의 전개는 종적인 관점과 횡적인 관점에서 볼 수 있습니다.
앞에서 이야기한 것이 기본적인 종적인 관점입니다. 그런데 기본적 의도를 표현하기 위한 여러 가지 수학적 표현이 있기도 합니다. 우리 고교 교육 과정에서 미분은 접선의 기울기가 중요한 관점입니다. 하지만 대학 과정이나 미국 고교 과정에서는 레잇 오브 쳬인지 라고 하는 변화율의 관점이 더 중요합니다.
결국은 똑같습니다.
기하적 관점이냐 대수적 관점이냐의 차이입니다. 따라서 횡적인 관점에서도 정리할 수 있어야 합니다.
활용의 측면에서도 보자면 여러 가지 다양한 일들을 할 수 있습니다. 역시 횡적인 관점에서 정리할 수 있어야 합니다.함수 단원을 예로 들어볼까요? 에이라는 성질을 가진 대상과 비라는 성질을 가진 대상을 서로 짝짓고 싶습니다. 기본적인 의도입니다. 수학적으로 개념화합니다. 정의역, 공역, 치역등의 하부 개념들을 정의하고 드디어 함수의 개념을 완성합니다. 함수의 종류, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수의 하위 개념들이 나타납니다.
함수의 성질과 관련해서는 함수의 연산에 해당하는 합성합수, 역함수등을 만들 수 있습니다.
이제 이것 가지고 무엇을 할 수 있죠. 사실 딱히 말하기가 힘듭니다. 왜냐하면 함수는 수학의 기초 개념으로써 수학의 어느 부분에서나 나타나는 수학의 기본 언어가 되어있기 때문입니다. 활용은 수학 전체입니다.
이와 같이 함수 단원에 대해서도 정리해 볼 수 있습니다.
두 번째의 차원은 무엇이죠?
두 번째의 차원은 유형이 나타나는 순서, 전개되는 순서의 차원입니다. 어떤 한 단원에서 문제가 나타나는 순서를 볼까요? 보통 이렇습니다.
기본 유형(대표 유형/필수 유형) 변형 응용 결합
기본에서 응용으로, 단순에서 결합으로 나아가는 것이 방향이고 순서입니다.
간단한 예를 들어 볼까요? 고 1 과정의 간단한 내용, 몫과 나머지 부분에서 예입니다.
//x-1로 나눈 나머지를 구해라.
나머지 정리를 연습하거나 조립젯법을 연습하는 간단한 문제입니다.
다음 문제는 무엇입니까?
x-1, x+2로 나눈 나머지가 1, 3일 때, (x-1)(x+2)로 나눈 나머지를 구하여라
x-1, x^2+2로 나눈 나머지가 1, 3x+2일 때, (x-1)(x^2+2)로 나눈 나머지를 구하여라
즉 1차식으로 나눈 나머지에서 2차식, 3차식으로 나눈 나머지를 구하라//(빠르게)
는 방식으로 전개 확장하고 있습니다. 문제가 점차 단순한 수준에서 결합이 이루어지고 있고 그 결과 차수가 높아지는 순서로 전개되고 있습니다.
전개의 결과는 각 단원에서 가장 어려운 문제로 이어지는데, 개념과 개념의 결합, 단원과 단원의 결합, 유형과 유형의 결합과 같은 형식으로 문제들이 나타납니다.
셋째 번과 넷째 번의 차원도 있나요?
그렇습니다. 수준이 높은 학생이라면 세 번째와 네 번째의 차원을 만들 수 있습니다.
세 번째의 차원은 단원이 나타나는 순서 = 내용/개념이 심화 확장되는 순서의 차원입니다.
수에 대하여 생각해 봅니다. 처음 자연수에서 소수, 분수 즉 유리수를 배웁니다. 초등학교 때의 일이죠. 중 3에 들어와서 무리수를 배우고 다루는 수의 집합이 실수로 확장됩니다. 고1 과정에서는 허수 단위를 배우고 복소수를 배웁니다. 방향은 무엇이죠? 심화 확장입니다.
방, 부등식을 봅니다. 1차방정식, 부등식에서 2차 방정식을 배웁니다. 중3때죠. 2차방정식의 심화와 이차부등식을 고1때 배우고 그 다음으로는 3차 이상의 방정식, 부등식을 배웁니다. 완벽하게 다룰 수 있는 것은 미분을 배우고 나서야 가능합니다. 방향은 무엇이죠? 심화 확장입니다.
완전히 새로운 것을 배우기도 합니다. 새 교육과정에서 배우게 될 행렬이나 기하에서 배우게 될 벡터는 완전히 새로운 수학적 대상입니다.
하지만 결국은 같은 것을 합니다.
행렬이란 무엇인지 정의합니다. 수학이니까 결국은 연산할 수 있어야 합니다. 따라서 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 합니다. 더 나아가서는 나눗셈에 해당하는 내용도 있습니다. 역행렬입니다.결국 다양한 계산을 합니다.
벡터도 마찬가지입니다.
결국 완전히 새로운 것이라도 그 기본적인 의도, 기본적인 대상, 기본적인 목표 자체가 새로운 것일 뿐 하는 일은 크게 다를 바 없습니다. 단지 심화 확장하는 겁니다.
마지막 네 번째의 차원은 문제/유형이 심화 확장되는 순서에 대한 차원입니다.
예를 들어 (a+b)^2을 전개합니다.
중학교 내용입니다.
(a+b)^20을 전개합니다. 똑같은 전개지만 이것은 고등학교 내용입니다. 확률과 통계에서나 다루어집니다.
x+y+z=5인 음 아닌 정수해를 구하라 이것은 중학교 경우의 수 문제인데요, x+y+z=50인 음 아닌 정수해를 구하라 이것은 고등학교 문제가 됩니다. 수열 단원의 문제로 접근할 수도 있고, 확률과 통계 과목의 문제로 접근할 수도 있습니다.
너무 심오하네요. 오늘의 이야기를 정리해 주세요.
4차원이라고 해서 겁먹을 거 없어요.
내용과 개념을 정리하자. 어떻게 정리할 것이냐?
내용이 논리적으로 또는 체계적으로 이어지는 순서에 따라 정리하고
심화하는 순서에 따라서 정리하자 입니다.
문제 유형들에 대해서도 같은 방식입니다.
큰 방향을 잡아가면서 개념의 체계를 만들어 가는 것은 수학 공부에 있어서 아주 중요합니다. 거대한 체계를 만들어 가는 것이 엄두가 나지 않을 것입니다. 처음 시작은 간단합니다. 단원의 내용을 체계적으로 정리해 보는 습관을 갖습니다.
마인드맵을 활용하는 것도 좋은 방법입니다.
개념 공간을 만들어 가는 중간중간 연습해 보기를 권합니다.
물론 개념의 공간은 훨씬 상위의 구조를 갖고 있습니다. 마인드맵으로는 표현하기가 힘든 매우 복잡한 구조의 공간입니다. 어쨌거나 마인드맵은 2차원적인 그림을 이용합니다. 기본적인 정리에는 많은 도움이 되기 때문에, 하나의 보조 수단 정도로는 충분히 이용할 수 있습니다.
여러분들도 충분한 연습을 통해서 4차원적인 개념 공간을 완성해 보세요 놀라운 수학의 세계를 경험해 보기를 바랍니다.