11. 구별되지 않는 사과 66개를 구별되지 않는 3개의 상자에 나누어 담는 경우의 수는?(단, 빈 상자가 있을 수 있으며 사과는 남기지 않는다.)
공간 풀이법 : 기본 유형으로부터 출발합니다. 기본형은 구별되지 않는 사과 66개를 서로 다른 세 개의 상자에 나누어 담는 방법의 수입니다.
x+y+z=66의 음 아닌 정수해를 구하는 것이군요. 모두 3H_66=68C66=68C2=2278입니다.
세 종류로 구분하겠습니다.
세 개 모두 같은 것, 두 개만 같은 것, 모두 다른 것
x=y=z(=22)
x=y라 하면 2x+z=66에서 x는 0부터 33까지~ 모두 34 경우이지만 모두 같은 것을 제외하니 33경우입니다. 그런데 배열을 생각해야죠.
2278-1-33×3=2178
나누기 6을 합니다. 왜죠?
이것은 마치 nC_r=nP_r/r! 원순열의 공식을 n!/n=(n-1)!이라고 하는 것과 같은 방식입니다.
363입니다.
따라서 363+33+1=397
공간 학습법 : 비슷한 유형들을 묶어서 정리한다.
대표적으로 다음과 같이
서로 다른 사과 10개를 서로 다른 3개의 그릇에 나누어 담는다.
서로 다른 사과 10개를 서로 같은 3개의 그릇에 나누어 담는다.
서로 같은 사과 10개를 서로 다른 3개의 그릇에 나누어 담는다.
서로 같은 사과 10개를 서로 같은 3개의 그릇에 나누어 담는다.
여기서 (서로 같은=서로 구분할 수 없는)
여기에서 다시 빈 그릇이 있는 경우와 빈 그릇이 없는 경우로 나누어 생각할 수 있습니다.
첫째, 유형을 서로 비교하면서, 서로 대조시켜 가면서 정리하는 것은 중요한 학습 방법입니다.
둘째, 방법을 서로 비교하면서 기억하는 것도 중요한 학습 방법입니다. 이 문제는 특수하게도 이런 방법을 쓰는구나에서 머무는 것이 아니라 이 문제는 특수하게도 이런 방법을 쓰는데 사실 이 방법은 여기, 여기에서도 쓰였던/쓰일 수 있는 방법이야.라는 깨달음을 얻어야 합니다.
서술형 3 다음 식을 순열이나 조합의 기호를 한 번만 사용하여 간단히 나타내는 과정을 서술하시오.
(50C_1)^2+2x(50C_2)^2+3x(50C_3)^2+…+49x(50C_49)^2+50x(50C_50)^2
공간 풀이법
r nC_r = n n-1C_r-1
nC_0 mC_r + nC_1 mC_r-1 + … + nC_r-1 mC_1 + nC_r mC_0 = n+mC_r
두 가지 방법으로 생각할 수 있습니다.
이항정리를 쓰는 방법과 경우의 수를 쓰는 방법입니다. 경우의 수를 쓰는 방법이 간단하니 그렇게 설명할께요. (n+m 사람 n 남자 m 여자입니다. 여기서 모두 r명을 뽑는다…)
r 50C_r = 50 49C_r-1
50 49C_0 50C_1 + 50 49C_1 50C_2 +…+ 50 49C_49 50C_50
=50(…)
=50(49C_0 50C_49 + 49C_1 50C_48 +…+ 49C_49 50C_0)
=50 99C_49
공간 학습법 : 심화하는 순서로 유형을 정리한다.
기본형부터 심화하는 순서로 유형을 정리합니다.
이항정리와 관련되어 있지만 경우의 수, 조합의 성질로부터 얻어낼 수도 있습니다.
- n-1C_r-1 + n-1C_r = nC_r
특정 한 원소에 주목합니다. - rC_r+r+1C_r+r+2C_r+…+nC_r=n+1C_r+1
1번을 뽑습니다—>나머지 nC_r
1번X 2번 뽑습니다—>나머지 n-1C_r
1,2번X 3번 뽑습니다—>나머지 n-2C_r
….. - nC_0 mC_r + nC_1 mC_r-1 + … + nC_r-1 mC_1 + nC_r mC_0 = n+mC_r
- 1H_r+2H_r+…+n+1H_r=n+1H_r+1
1번이 적어도 한 개 뽑힙니다.—>1번을 하나 뽑아놓고 이제 자유롭게 뽑습니다—>나머지 n+1H_r
1번x, 2번 이 적어도 한 개 뽑힙니다.—>2번을 하나 뽑아놓고 이제 자유롭게 뽑습니다—>나머지 nH_r
…
결과를 외운다고 생각하지 말고
접근하는 방법과 결과의 형태를 외웁니다.
실전에서 충분히 꺼내 쓸 수 있습니다.