오늘은 수준에 따른 수학 공부법을 이야기하겠습니다.
간단히 두 가지 수준으로 나누어서 이야기하려고 합니다.
초급 단계의 학생을 위한 학습법과 실력자를 지향하는, 실력자임을 자부하는 학생들을 위한 학습법입니다.
첫 번째는 초급 단계의 학생을 위한 학습법입니다.
크게 다섯 가지를 이야기하고 싶네요.
첫째. 매일 일정하게 수학 공부를 하자.
수학에 대한 관심도가 꾸준히 유지되기 위해서는 우선 매일 일정량의 수학 공부를 할 수 있는 시간표 설정이 꼭 필요합니다.
여기에서 수학에 대한 관심도란
“수학 공부를 해야 하는데…”
정도의 일반적인 관심이 아니라
예를 들어
“저번 시간에는 이러이러한 내용들 저러저러한 부분까지 공부했었지”,
“저번 시간에 배웠던 어떠어떠한 공식들은 어떻게 적용할 수 있을까?”와 같이
매우 구체적인 수준의 관심도를 말합니다.
공부가 일정치 않은 학생들은
오랜만에 책상 앞에 앉았을 때,
언제나 하는 고민을 똑같이 반복하면서 수학 공부를 시작합니다.
발전이 없는 거죠.
수학적인 잠재력이 많은 학생들은 공부하면서 번뜩이는 질문을 하는 경우가 있습니다. 놀라울 정도의 질문을 하기도 합니다.
하지만 공부가 끝나고 나면 깨끗이 잊어버립니다.
예? 제가 그런 생각을 했어요?
수학적인 내용이 내면화되기 위해서는
구체적인 수준의 관심도가 계속 유지될 수 있어야 합니다.
둘째. 식을 정확히 쓰자.
초급 단계의 학생 가운데에는,
어느 정도의 직관력은 있지만,
식을 정형화하여 다루는 능력은 미흡한 학생이 많습니다.
이 경우에는 수식을 정식화하여 다루는 연습을 많이 하여야 합니다.
쉬운 문제, 쉬운 내용이라고 무시해서는 안됩니다.
세 살 버릇 여든 살까지 간다는 말도 있죠.
기초적인 부분에서부터 정식화한 사고방식을 확실히 습득하여야 복잡한 문제를 다루어 낼 수 있기 때문입니다.
수식을 정형화시켜 다룰 수 있어야
“먼저 수식을 만들고”
“다음으로는 수식을 전개하면서 정리하고”
“마지막으로는 답이 (자연스럽게) 얻어진다”
와 같은 올바른 문제 풀이 과정을
항상 완결 지을 수 있게 됩니다.
셋째. 복잡한 계산을 연습하자.
복잡한 계산을 많이 연습하면 할수록 수식에 대한 안목이 생깁니다.
또 계산력이 있어야 고등수학에서 다루는 문제를 쉽게 처리할 수 있습니다.
계산이 복잡하게 얽혀 있는 문제를 풀면
아무래도 풀이에서 계산이 중요하게 부각됩니다.
하지만 계산은 계산일 뿐,
중요한 것은 문제 풀이의 구조이며 개념의 흐름입니다.
비본질적인 것에 정신을 팔리면 안됩니다.
계산이 복잡한 경우에는,
문제를 풀고는 있지만,
길을 잃고 제자리를 맴도는 것 같은 느낌이 들기도 합니다.
주어진 조건 가운데 새로운 것을 사용했어야 하는데 같은 조건만을 사용하면서 나타나는 현상입니다.
그런데 계산력이 있어야
그러한 것을 찾아내고 수정하는 과정을 거치면서
식을 보는 능력,
식을 정리하는 능력이 생깁니다.
넷째. 자신의 실수를 발견하는 훈련을 하자.
자신의 실수에 대해서 너무 관대하지 말아야 합니다.
그렇다고 자책하라는 이야기는 아닙니다.
자신이 하는 실수에 대해서 주의력을 가지고 있어야 한다는 뜻입니다.
자주 하는 실수를 유형화하고 스스로 고치려는 자세를 갖지 않는다면,
반복되는 실수가 고정되면서 습관화합니다.
실수가 습관화하면, 고치기가 힘듭니다.
경험상 매우 고질적인 질병(?)으로
살 빼는 것(?)보다 더 힘듭니다.
다섯째. 오답 정리를 습관화하자.
자신의 풀이를 보고 잘못된 부분을 찾아 고치는 연습이 아주 중요합니다.
자신이 풀었던 방식은 정답이 안 나온다는 이유 하나만으로 내팽개치고,
문제집의 해설이나 다른 사람의 설명을 있는 그대로 받아들이는 경우가 많습니다.
자신의 생각을 전혀 되돌아보지 않는 행위인데요,
자신의 이전 풀이 가운데
무엇 때문에 잘못이 생겼는지를 찾아서
정확하게 고치는 연습을해야 합니다.
올바른 풀이를 적어 놓는 것이 아니라
자신의 잘못을 고쳐나가면서 올바른 풀이로 나아가는 것,
이것이 바로 오답 정리의 핵심이 되어야 합니다.
그렇다면 오답을 정리할 때 어떤 것들을 보아야 할까요?
가장 먼저 계산을 보아야 합니다.
두 번째로 문제에서 주어진 조건을 제대로 이해하고 사용했는지를 검토합니다.
세 번째로 기호나 개념의 적용 과정에 잘못이 있지는 않았는지를 검토합니다.
네 번째로 공식의 적용 과정에서 어떤 잘못이 있지는 않았는지를 검토합니다.
마지막으로,
이것이 좀 어려운 사항인데,
풀이 과정에서 각각의 단계들을 논리적으로 앞뒤가 맞게 제대로 연결하였는지를 검토합니다.
다음으로는 실력자를 지향하는 학생들을 위한 공부법입니다.
첫째. 분석이 더 중요하다.
수학에 대한 완벽한 체계화…
사실은 거짓입니다.
수학에 대한 완벽한 정리를 하였다고 주장한다면 믿지 마세요.
모든 규칙에는 예외가 존재하며 모든 예상에는 반전이 존재하는 법이니까요.
교과서만을 공부한다면 완벽한 체계화가 가능합니다.
하지만 실전에서는 완벽한 체계화라는 것이 허상입니다.
수학을 무슨 암기 과목처럼 생각했을 때만이 그러한 허구적인 주장이 가능합니다.
마치 이와 같습니다.
교과서만, 혹은 특정 교재만을 공부하는 것은
매일 다니는 등하교 길을 자세히 살펴보는 것과 같습니다.
무슨 가게가 있는지 횡단보도의 신호등은 몇 초 만에 깜빡이기 시작하는지 등등…
하지만 실전은 여행입니다.
길을 걷고 횡단보도를 건너고 상점에서 필요한 물건들을 사는 일들은
일상에서 하는 행위와 똑같지만,
전혀 새로운 장소에서
약간은 생소한 길을 걷고 약간은 색다른 횡단보도를 건너는 것이며,
경우에 따라서는,
외국말을 사용하는 가게에서 물건을 사기도 해야 합니다.
그렇기 때문에 우리는 단지
“기존 문제들에 대한 체계적인 이해”
와 그에 더하여
“문제를 이해하고 분석하는 방법”
들로부터 실전 문제에 접근할 수 있는 것뿐입니다.
물론 개인에 따라서 체계적인 이해를 70%, 문제에 접근하는 자세를 30%로 하느냐, 80%, 20%로 하느냐에 대해서 편차가 존재할 수는 있겠지만 말이죠….
둘째. 암기에서 판단으로!!
수학을 공부하는 초기에는 이해 및 암기가 중요한 역할을 합니다.
아니 이해 및 암기라기보다는 이해 및 기억이라는 것이 더 정확한 표현일 수도 있겠네요.
구태여 구분하자면,
암기는 기억 자체를 목표로 공부하는 것이고,
기억은 이해했던 내용, 개념 또는 상황들이 그대로 머릿속에 남겨져 있는 상태라고 구분할 수가 있을 테니 말이죠.
하지만 공부가 진행될수록 더욱 중요한 역할을 하는 것이 있습니다.
바로 판단입니다.
이미 머릿속에 정리되어 있는 내용들을 조합하여
흐름을 만들어내고 그 결과 무언가 수학적인 판단을 내리는 것,
이것이 매우 중요해집니다.
학습이 한 단계 두 단계 상향되어져야 할 시기에서조차
이해 및 암기를 강조하게 된다면 수학 지식이 점차 굳어져 갑니다.
다양한 변형 문제들에 대한 판단이 이루어지지 못한다는 이야기인데요,
수학은 공부할수록 암기는 자신의 생각 속에 녹아 들어가 사라진 듯 보이고 판단이 중요하게 남습니다.
의천도룡기에서 주인공 장무기가 태사부 장삼풍한테 태극권을 배울 때
초식을 반복해서 볼수록 점점 까먹더니 마침내 전부 다 잊었습니다
라고 하는 장면이 떠오르네요.
마치 이와 같은 느낌입니다.
수학 공부의 맨 처음에 우리가 학습해야 할 주요 내용들은
대부분 100% 외워야 될 내용들입니다.
원이라는 용어의 정의, 함수의 뜻 등의
“이런 용어는 이렇게 정의한다”라는 내용은
추론과 판단의 대상이라기보다는 이해와 암기의 대상입니다.
하지만 그 다음에 배우는 내용들은 어떤가요?
예를 들어 학생들은,
원을 배우고 난 후에,
원주각의 성질과 접선의 성질 등을 배웁니다.
그런데 이런 성질들은 100% 암기의 대상이 아닙니다.
저의 생각으로는 아마도 80% 정도 암기의 대상으로 여겨집니다.
나머지 20%는 판단의 대상이라는 말입니다.
여기에서 판단의 대상이라는 말의 뜻을 간단히 설명하자면 이렇습니다.
암기의 비중이 그보다 높은 성질들로부터 추론해 낼 수 있다는 뜻입니다.
여러 성질들을 무조건적인 암기의 대상으로 생각하지 말자는 이야기인데,
그 이유는 수학은 체계가 중요하기 때문입니다.
개념과 개념 사이의 연결관계, 선후관계, 인과관계등을 이해하지 않고는
진정한 무림의 고수가 되기는 힘듭니다.
학생들은 자신들이 배우는 모든 수학적 내용들을 100% 알고 있어야 합니다.
하지만 여기에서 절대 오해하지 말아야 하는 부분이 있습니다.
그렇다고 해서 100% 외우고 있어야 된다는 것이 아니니까.
그리고 그것이 매우 중요한 요점입니다.
이 말을 이해하는 사람이 과연 몇 명이나 될 지 걱정되긴 합니다만,
어떤 수학적 내용을 100% 알고 있다고 하는 것과
그것을 100% 암기하고 있다는 것에는 아주 큰 차이가 있습니다.
100% 알고 있다고 해서 100% 외우고 있어야 할 필요는 없습니다.
사실상 중고등학교의 수학은 두세 번 공부하고 나면,
더 이상 새롭게 공부할 내용은 거의 없습니다.
중상위권의 학생들에게조차 말이죠.
이제 새로운 것은
여러 공식들과 유형들, 조건들을 어떻게 결합하느냐입니다.
결합 방식에 따라 무궁무진한 문제들이 만들어질 수 있습니다.
그렇기 때문에
공부의 중점이
여러 조건을 어떻게 분석하고
그것들을 어떻게 정리해낼 것이냐
라는 것으로 옮겨 가야 합니다.
결국 이미 머릿속에 집어넣은 개념과 내용들을 이용하여
다양한 변형문제들을
어떻게 판단해 낼 수 있겠느냐
하는 것이 주요 학습 내용이 될 수밖에 없습니다.
판단이 핵심이 되는 것입니다.
수학은 공부할수록 판단만이 점차 그 중심에 남게 됩니다.
셋째. 공부는 앞으로도 하는 것이지만 뒤로도 해야 한다.
무슨 이야기일까요?
수학적인 지식을 어떻게 자신의 머릿속에 담아 놓을 것인가에 대한 이야기를 잠시 해 보겠습니다.
예를 들어 어떤 수학 공식이 있다고 가정합시다.
그런데 //대부분의 학생들이 공식을 대하는 자세를 보면, 오로지 앞으로만 하는 공부에 관심이 고정되어 있습니다.
다시 말해서 그 공식을 외우고 어떻게 사용할 것이냐에 대해서만 관심이 있다는 이야기입니다.
그 공식을 어떻게 증명할 것이냐,
어떻게 유도해 낼 수 있을 것인가에 대해서는
“시간도 없는데, 머리도 아픈데 쓸데없이 왜?”
라는 자세를 보입니다. 그런데 이것이 바로 뒤로 하는 공부입니다.
자신의 머릿속에 담아 놓아야 할 수학적인 체계를
하나하나의 공식으로부터 시작할 수는 없습니다.
그러면 수학은 암기가 됩니다.
공식을 아무리 많이 그리고 정확하게 알고 있다 하더라도,
그것이 암기라면,
수학 실력은 곧 한계에 닿게 됩니다.
더 이상의 발전은 기대할 수가 없어집니다.
그 공식이 어떻게 나타난 것인지,
어떻게 다른 공식이나 개념들과 연관되어 있는지를
이해하고 연구해야 합니다.
그래야 체계가 생기고 모든 수학적 내용들 사이의 흐름을 만들어 낼 수 있게 됩니다. 한계가 없는 수학적 능력의 발전을 기대할 수 있습니다.
공부는 반드시 양방향으로 이루어져야 합니다.
공식을 정확히 이해하고 외워서 응용하는 것이 한 방향이요,
특히 공식의 유도 과정이 어떻게 되느냐, 어떻게 증명하느냐를 알아보는 게
또 한 방향입니다.
그래야만 그 공식이 어떤 개념이나 원리를 사용했는지
따라서 다른 내용들과 어떻게 연관되어 있는지를 이해할 있고
다양한 응용을 할 수 있게 됩니다.
수능 문제를 보면,
사설 모의고사에서는 볼 수 없는,
품격있는 문제가 출제될 때가 있습니다.
실제 정답률하고는 다르게, 이른바 체감난이도가 있는 문제들인데,
보다 근원적인 개념적 이해를 점검하는 문제들이라고 할 수 있습니다.
공식이나 개념의 배경을 찾아가면서 공부할 필요가 있다는 직접적인 이유입니다.
넷째. 형식으로 접근하자.
고교 수학의 내용이지만
저 자신도 수학과 대학원 다닐 때에서야 이해한 부분이 있었습니다.
‘아이젠슈타인 판정법’이라고 하는 것이었는데,
당연한 내용이기도 해서 별로 문제 삼을 것까지 없기는 했지만
고등학생 때에는 조금 갸우뚱 하는 부분이었습니다.
또 문제에 따라서는,
전체 과정을 모두 이해하면서 문제를 풀어야 한다는 것이
매우 착각이라고 밖에 할 수 없는 상황도 있습니다.
특히 어려운 응용 문제에서는,
실력이 뛰어난 학생이라 해도,
전체 과정을 모두 이해하면서 풀 수 없는 문제가 분명히 있습니다.
따라서 모든 것을 이해하려고만 하는 것도 잘못입니다.
단계별로 끊어서 다룬다.
각 단계를 정리한다.
그리고 그 단계들을 논리적으로 연결하자.
이런 관점에서 연습을 충분히 해야 합니다.
문제 풀이를 구조화 하는 것을
반복해서 연습해야 할 이유이기도 합니다.
다섯째. 도전적인 자세를 갖자
사실 최상급의 실력을 갖춘 학생들의 입장에서 보자면
우리나라 입시 제도처럼 불합리한 것이 없습니다.
이미 알고 있는 사실을 반복해서 공부하고 또 공부해야 되기 때문입니다.
지겨운 반복의 목표는 오로지 하나입니다.
실수를 하지 말자.
무언가 새로운 것을 더 배우고 그것들을 충분히 익힌 다음에는
좀 더 상위 단계의 더욱 새로운 것을 배워 가는 것이 올바른 순서인데
반복에 반복,
나중에는 문제와 답이 통째로 외워질 지경에까지 이릅니다.
그 결과 두 가지의 문제점에 부딪칩니다.
첫째는 문제에 대한 분석력이 약화된다는 것.
새로운 문제를 처음 접하게 될 때에는,
이 문제를 어떻게 하면 풀어낼 수 있을까 하면서
여러 가지 관점들을 생각하게 되고,
또 그러한 것들을 차례로 검토하게 됩니다.
하지만 예전에 한 번 풀었던 문제에 접하게 되면,
주어진 문제를 차분히 분석하기보다는,
“전에 어떻게 풀었지?”라는 생각부터 듭니다.
실전에서는 기존의 유형 문제만 출제가 되는 것이 아닙니다!
새로운 유형의 문제도 적지 않은 비중으로 나옵니다.
따라서 이때는 문제 분석능력을 얼마나 길렀느냐가 관건입니다.
그렇기 때문에,
문제를 많이 풀었다는 것이 오히려 해가 될 수도 있습니다.
반복 학습으로 문제 분석 능력이 발전되지 못했기 때 말이죠.
문제와 답이 떠오를 정도가 되면
그 누가
문제를 분석하려고 할까요?
두 번째는 실수에 대한 두려움이 생긴다는 점.
같은 내용을 반복해서 공부하다보니,
틀리는 것이 몰라서 틀리는 경우는 거의 없고,
오히려 계산 실수나 순간적인 착각 때문에 틀리는 경우가 더 많습니다.
매우 잘하는 학생이라고 해봤자,
저의 경험상,
적게 잡아도 30회에 한 번 이상은
실수를 하는 경향이 있는 것 같습니다.
하지만 수능에서는 그게 한 문제입니다.
자기 실력에 자신감을 가져야 할 학생들이
오히려 실수에 대한 부담감 속에 자신에 대한 불신감을 키워 가게 만드는 것이
최상급 학생들에 대한 우리 교육의 불합리입니다.
모든 시험에서 가장 두각을 보이는 학생들은
그 시험이 자신의 실력보다 “약간”(!) 어렵다고 느끼는 학생들입니다.
그렇기 때문에 시험이 너무 쉬우면 가장 피해(?)를 보는 것은 최상급의 학생들입니다.
여러분이 최상급의 학생들이라면,
최대한 폭넓게 공부하세요.
다양한 문제를 많이 포함하고 있는 문제집을 풀어보거나
고등학교 수준의 경시대회 문제를 풀어보거나
대학 수시의 논술형 문제를 풀어보거나
미적분학에 대한 대학 초급 과정의 교재들을 풀어보는 것도 좋습니다.
그렇다고 보다 높은 수준의 문제들을 많이 접하면 접할수록 좋다는 이야기까지는 아닙니다.
요점은 목표하는 시험에서의 문제들이 약간은 신선하고 약간은 도전적으로 느껴질 수 있도록 공부하라는 이야기입니다.
여기까지 수준별 수학 학습법에 대한 이야기였습니다.
상위권 수준의 학생에 대한 학습법은
너무
최상위권 학생의 학습법으로 나간 느낌이 있네요.
수학 공부의 수준을 높여주는 계기가 되었으면 합니다.