간단한 세특입니다. 문제를 선정하여 그 문제를 여러 방법으로 풀어보는 세특의 예시입니다. 다음의 문제를 최대한 여러 가지 방법으로 풀어보겠습니다.
실수가 아닌 복소수 z=a+bi(a, b는 실수)에 대하여
z/1+z^2, z^2/1+z
가 모두 실수일 때, a+3b^2의 값을 구하시오.
방법1) 가장 단순하면서도 무식한 방법입니다. 그냥 계산합니다. 계산 능력자만이 가능한 방법이겠네요. 저는 포기합니다….
라고 발표하면 별로 일까요? 실제 계산 과정을 끝까지 정리해서 발표 내용을 완성해도 됩니다. 이제 새로운 방법을 제시해 보겠습니다.
방법2) 비례식으로 생각하는 방법입니다. 실수 부분 사이의 비율과 허수 부분 사이의 비율이 같을 때에야 실수로 계산될 수 있기 때문에 그들 사이의 비율 만을 계산하는 방법입니다. 간단한 계산으로 순식간에 결과가 얻어질 수 있습니다.
방법3) 복소수의 성질을 쓰는 것입니다. 특히 다음의 두 성질을 사용합니다.
복소수가 실수일 필요충분조건과
켤레복소수 기호의 성질입니다.
방법3은 중요한 두 가지 성질을 사용해서 얻어지는 방법입니다. 이 방법에 의한 풀이는 중요한 풀이 방법이라는 점을 강조해도 좋겠습니다.
다음은 방법2를 조금 개선시킨 방법입니다.
방법4) 비례식2
z^2/1+z=k(k는 실수) k라 놓고 z^2=k(1+z)을 구합니다. 이것을 대입하면
z/1+z^2=z/1+k+kz
이것이 실수가 되려면 k=-1이어야 합니다. 역수를 생각해 보면 바로 알 수 있습니다.
1+k+kz/z=1+k/z+k
따라서 z^2=-(1+z) z^2+z+1=0
이제 근의 공식을 쓰면 됩니다.
마지막으로 이차방정식의 성질을 이용하는 방법입니다.
방법5) 이차방정식 이용
각각 실수의 값을 k. l 이라고 놓고 식을 정리합니다.
정리해 놓고 보면
z^2=k(1+z) z^2-kz-k=0 x^2-kx-k=0
z/1+z^2=l z^2-1/l z+1=0 x^2-1/l x+1=0
모두 이차방정식이고, 근이 일치합니다. 실수계수 방정식이기 때문이죠. 그러므로 방정식도 일치해야 합니다. k=-1이어야 합니다. 그 다음에 앞에서처럼 근의 공식을 쓰면 바로 구해집니다.
방정식이 일치한다는 내용에 대해서는 다음과 같이 이차방정식의 근이 x=z이다라고 했을 때, 실계수 이차방정식의 근은 켤레로 존재하기 때문에 두 근이 모두 일치한다라는 추가 설명을 해야 할 수도 있겠네요.
어때요? 좋은 생각이나 새로운 생각이 떠오르셨나요? 자세한 내용을 완성하고 추가적인 방법을 찾아서 발표해 보시기 바랍니다.