공간 풀이법 : 다양한 성질을 찾아보자!!
다양한 예를 그려보면서 만족하는 예와 만족하는 이유, 만족하지 않는 예와 만족하지 않는 이유 등을 천천히 생각해 봅니다. 이제 여러분들은 시간을 갖고 다양한 상황을 한번 생각해보기 바랍니다.
최종적인 발견은 다음과 같아야 합니다.
“연속적인 두 정수를 근으로 가져야 한다.”
왜 그렇죠? 이 추론을 위해서 우리는 고1 수학(하) 과정인 집합과 명제에서의 관련 내용을 사용해야 합니다. 특히 간접 증명법인 귀류법을 사용합니다. 여러분들은 다양한 상황을 상상하고 추론을 진행하면서 여러 번 사용됨을 느꼈을 것입니다.
따라서 개념의 공간에 귀류법을 집어넣고 순서도 살짝 변경합니다.
발견에 대한 증명은 이렇습니다. 함숫값이 음수인 최대의 정수가 반드시 있습니다. 3차 함수가 증가할 것이기 때문입니다. 그것을 x=n 라고 생각하죠. n보다 큰 정수일 때에는 음수값이 나오지 않습니다. 그러면 x=n+2에서의 함수값은 0이어야 합니다. 양수면 안되니까요.
그렇다면 x=n+1 에서의 함숫값은 어떻게 돼야 하죠? 양수일 수도 있을까요? 그런데 이 판단을 위해서는 소소한 여러 발견과 그에 대한 검토가 선행되었어야 합니다. 자 이제 앞 부분으로 되돌아갑니다. 여러분은 어떤 발견을 했나요?
이런 건 된다. 이런 건 안된다…. 삼차 함수의 근이 한 개일 때는 불가능하다. …
이런 발견들을 통해서 처음에 추론했어야 할 중요한 성질 중의 하나는 연속한 두 근 사이에 정수가 있으면 안된다 입니다. 왜죠? 그림을 통해서 설명할 수 있습니다. 정확한 증명은 역시 귀류법이 사용되었을 때 가능합니다. ‘만약 두 근 사이에 정수가 존재한다면’ 으로 시작되는 완성된 증명은 쉽게 완성할 수 있습니다.
이제 발견이 이해되나요? 따라서 x=n+1과 x=n+2는 모두 근이어야 합니다. 그리고 세 번째의 근은 n<a<=n+3 범위에 있어야 합니다. 결론 부분에 도달하였습니다.
마지막으로 도함수 조건을 사용할 차례네요.
근이 두 개일 때는 x=+-1/4에서 모두 음수인 도함수값이 나올 수 없습니다.
근이 세 개일 때에는 y=(x-(n+1))(x-(n+2))(x-a)n<a<=n+3 형식이 되어야 합니다. 연속한 두 근 사이에 정수가 있으면 안되니까요. 마지막으로 두 개의 경우 y=(x-a)x(x-1)과 (x+1)x(x-b) 를 검토합니다. 답은 그중 첫 번째에서 나오네요.
공간 학습법 : 우선 순위를 정하라.
이 문제는 매우 어려운 문제입니다. 접근하기가 어렵습니다. 그렇다면 왜 접근하기가 어려울까요?
그렇게 되는 가장 큰 이유는 이 문제를 처음 보았을 때 ‘이 문제는 미분 문제’라고 생각하기 때문입니다. 미분과 도함수의 성질로부터 시작해야 한다는 선입관을 가지면서부터 문제에 접근하기가 어렵습니다. 실제로 미분은 마지막 단계에서 걸러내는 역할 정도만 합니다.
이 문제는 처음에는 철저히 주어진 부등식 조건에만 집중해야 합니다. 그로부터 확실한 성질을 찾아야 합니다. 우선 순위를 정해 가면서 깔끔한 풀이를 완성할 수 있습니다.
오늘의 공간 학습법의 내용은 우선순위를 정하라 입니다. 문제마다 여러 조건이 있을 때 어느 조건으로부터 시작해야할지 우선 순위를 정하는 부분은 많은 연습이 필요합니다. 쉽게 풀 수 있는 문제를 우선 순위를 잘못 정해 풀지 못하거나 길고 어렵게 풀게 된다면 아주 곤란한 일이겠죠?
오늘은 여기까지 입니다. 다음에 더 재미있는 문제로 만나요!