타원기하학의 모형
오늘 영상에서는 타원기하의 모형을 만들겠습니다. 타원기하의 세계는 설명하였다시피 직선이 하나의 닫힌 곡선이 되는 특이한 세계였죠? 리만이 창조한 세계입니다. 구면기하라고도 불리우는 것처럼 구면으로 표현할 수 있습니다. 그런데 구면은 정확히 이중의 타원기하 세계라고 했었습니다. 정반대편에 있는 점들을 하나의 점으로 겹쳐 놓을 수 있어야 진정한 타원기하의 세계입니다.
4차원의 유클리드세계에서 정확히 구현할 수 있습니다.
다음과 같은 함수를 만들면 대척점들이 정확히 하나의 같은 점에 대응합니다. 주어진 한 점의 좌표에서 각 좌표를 모두 반대 부호로 하여도 4차원 상의 점에는 영향이 없죠? 이 대응으로 만들어진 도형을 간단히 상상해 보겠습니다. 구면 위에 위도선이 있습니다. 이 위도선 위의 점들은 이와 같은 곡선으로 대응합니다. 하지만 두 점이 겹쳐지는 듯한 모습을 보이네요. 사실은 그렇지 않습니다.
제 4의 축, 이전 영상들에서 간단히 시간축으로 상상해 보았었는데요, 시간축으로 보면 이와 같은 모습들이라서 실제로는 대략 이와 같은 모습으로 상상할 수 있습니다. 원과 같은 모습이긴 한데, 빨간 색의 선이 미래의 시간 축에 표현되는 선이라면 녹색의 선은 과거의 시간 축상에 표현되는 선입니다. 삼차원에서는 일종의 그림자를 보는 상황이 되어서 아무래도 겹쳐지는 상황을 피할 수 없습니다.
상상력을 조금 발휘하여 기하학적인 방식으로 타원기하의 세계를 만들어보겠습니다.
우선 구면의 절반입니다. 내부의 녹색 영역에서는 반구면상의 한 점이 타원기하세계의 한 점입니다. 그런데 문제는 아래 쪽에 경계선처럼 있는 노란색의 원입니다. 이 원에서는 정확히 절반만이 필요합니다. 마주보는 점들을 일치시켜야지만이 완벽한 타원기하의 세계를 만들 수 있습니다. 이 상태에서는 다른 부분들이 교차하지 않도록 겹쳐지지 않게 하면서 일치시킬 수 없습니다. 일치시켜야 하는 방향이 반대라면 바로 붙일 수 있겠지만요…
그래서 다른 방식으로 접근하겠습니다. 중간 정도를 잘라서 떼어 놓습니다. 나중에 다시 붙이도록 하겠습니다.
밑 부분을 다시 자릅니다.
펼쳐 놓습니다. 가운데를 다시 자릅니다.
오른쪽 절반을 뒤집습니다.
이제 AA선을 서로 맞추면 되는군요.
하지만 선을 맞추기 전에 적당한 크기로 잡아 늘립니다.
다른 쪽 부분을 또 잡아 늘립니다.
맞춥니다.
원래의 반구면 밑변을 맞추었네요. 하지만 그 과정에서 자른 부분들이 아직 남아 있습니다.
직사각형이 만들어졌는데 변을 붙여야 하는 방향이 정반대네요.
그래서 이번에는 직사각형을 절반만 뒤집습니다.
이제 둥글게 말아서 붙이면 됩니다. 방향이 정확히 들어맞습니다.
둥글게 말았더니…. 이게 뭔가요? 뫼비우스의 띠네요.
이제 타원기하의 세계는 뫼비우스 띠의 둘레를 따라서 원판을 이어 붙이면 만들어집니다!
3차원 세계에서는 불가능하지만 우리의 상상력을 좀 더 끌어올려 보겠습니다.
시간축을 따라 t=0인 시간에 뫼비우스의 띠를 놓고, t=1인 시간에 원판을 놓겠습니다.
이제 뫼비우스의 띠의 경계선과 원판의 경계선을 시간축을 따라 변형해 가면서 이어붙이면 됩니다.
시간축을 따라 움직이는 동안에는 뫼비우스 띠의 경계선을 겹쳐지지 않게 하면서 풀어낼 수 있습니다. 보통의 원처럼 풀어낼 수 있고 그렇게 생기는 면을 따라서 타원기하의 세계가 만들어지는 것입니다. 색의 변화가 바로 시간의 흐름, 제 사의 차원의 흐름입니다. 3차원에서는 겹쳐져 교차하는 모습으로밖에 그릴 수 없지만요. 슈타이너라는 수학자가 로마 여행중에 만들었다고 해서 로마의 표면이라는 이름이 붙어있는 모형입니다. 앞에서 소개한 4차원으로의 대응에 비해서 조금 간단하죠? 겹치는 부분이 생기는데 여기가 겹쳐지는 부분입니다. 이 겹쳐지는 선들에 의해서 네 개의 영역으로 구분되는 듯 하지만 실제로는 하나의 영역으로 이어져 있습니다. 신기하게도 이 타원기하의 평면세계는 뫼비우스의 띠처럼 안과 밖의 구분이 없습니다.
오늘은 타원기하 세계의 모형을 만들어보았습니다.