Fermat’s Christmas theorem.
지난 주 영상이 너무 길었기 때문에 오늘 영상은 간단한 것으로 준비했습니다. 오늘 영상의 내용은 또 다시 페르마와 연관되어 있는 증명입니다.
페르마는 1640년 12월 25일자의 편지에서 두 자연수의 제곱의 합으로 표현되는 소수와 그 소수의 거듭제곱들을 제곱의 합으로 표현하는 방법에 대한 여러 가지 이야기를 자세하게 쓰고 있습니다. 이러한 이유로 때때로 페르마의 크리스마스 정리라고도 불리워지는 정리가 오늘의 주제입니다. 두 제곱수의 합이 소수인 경우를 한 번 찾아 볼까요? 두 자연수의 제곱의 합은 다음과 같이 세 경우가 있겠죠?
짝수의 제곱 + 짝수의 제곱
홀수의 제곱 + 홀수의 제곱
짝수의 제곱 + 홀수의 제곱
첫 번째, 두 번째의 경우에는 그 결과가 짝수인데, 특수하게도 1^2+1^2=2인 경우 이외에는 소수가 나타날 수 없겠죠?
세 번째의 경우는 (2k)^2+(2l+1)^2=4(…)+1이라서 반드시 4로 나누어 나머지가 1인 수들만 가능하군요.
5는 어떤가요? 1^2+2^2이네요.
내친 김에 거듭제곱들도 한 번 보겠습니다.
5^2=25는 어떤가요? 3^2+4^2인데 한 가지, 만약 0^2+5^2로 표현하는 것까지를 세면 정확히 두 가지네요.
5^3=125=2^2+11^2=5^2+10^2
5^4=625=7^2+24^2=15^2+20^2(=0^2+25^2)
5^5=3125=10^2+55^2=25^2+50^2=38^2+41^2
5^6=15625=35^2+120^2=44^2+117^2=75^2+100^2=0^2+125^2
13은 어떤가요? 2^2+3^2이네요.
13^2=169는 어떤가요? 5^2+12^2인데 한가지, 만약 0^2+13^2로 표현하는 것까지를 세면 정확히 두 가지네요.
13^3=2197=9^2+46^2=26^2+39^2
13^4=28561=65^2+156^2=119^2+120^2(=0^2+169^2)
…
이들 소수의 거듭제곱들을 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 가짓수는 일정한 규칙성이 있는 듯 보이네요.
13 다음의 4곱하기 정수 더하기 1꼴의 소수들을 차례로 볼까요?
이들 소수들은 모두 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 듯 보입니다.
하지만, 아니나 다를까, 역시 페르마는 역시 그 증명을 정확히 남겨 주지는 않았습니다. 처음으로 완벽한 증명이 나타난 것은 약 100년 후입니다.
오일러는 42세였던 1749년에 두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리를 증명하는 데 성공했습니다. 증명의 방법은 무한강하법인데, 이 방법은 페르마의 전매특허라 할 수 있는 방법이라서, 아마도 페르마가 증명한 방법도 무한강하법이 아닌가 추측합니다.
오늘 영상에서는 4곱하기 정수 더하기 1꼴의 소수는 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 페르마의 주장을 증명하는 아주 최신의 증명법, 아주 따끈따끈한 방법을 보여드리겠습니다. David Christopher라는 수학자가 2015년에 발표한 논문에 나와 있는 방법인데, 아주 기발한 방법이라서 무한강하법을 쓰는 과정에서 나타나는 온갖 복잡한 계산들은 일절 등장하지 않습니다. 논문의 길이도 채 두 쪽 정도 되려나요?!
자, 곧바로 시작하겠습니다.
먼저 어떤 자연수 n를 단 두 개의 서로 다른 자연수a, b를 이용하여 다음과 같이 표현하는 방법을 생각합니다.
n=a+a+…+a+b+b+…+b,
아, 그리고 혼동을 없애기 위해서 큰 수를 반드시 앞에 쓰기로 하겠습니다.
즉 n=ap+bq인데 이것을 a^~p+b^~q라고 쓰고 a가 p개, b가 q개라고 읽겠습니다.
그리고 주어진 자연수 n을 이와 같이 표현하는 방법들을 생각해 봅니다.
예를 들어 13=5가 두 개, 1이 3개
또는 5가 한개, 2가 4개 또는 4가 3개, 1이 한개 … 등등으로 말이죠.
이제 이 방법의 수를 모두 세어봅니다.
13인 경우는 어떻죠?
12^~1+1^~1
11^~1+2^1, 11^~1+1^2,
10^~1+3^~1, 10^~1+1^~3,
9^~1+4^1, 9^~1+2^2,9^~1+1^~4
8^~1+5^1, 8^~1+1^5,
7^~1+6^1, 7^~1+3^2,7^~1+2^~3, 7^~1+1^6,
6^2+1^1, 6^~1+1^7,
5^~2+3^~1, 5^~2+1^3, 5^~1+4^2, 5^~1+2^~4, 5^~1+1^8,
4^~3+1^1, 4^~2+1^~5, 4^~1+3^3, 4^~1+1^9,
3^~4+1^~1, 3^~3+2^2, 3^~3+1^4, 3^~2+1^~7, 3^~1+2^5, 3^~1+1^10,
2^~6+1^~1, 2^~5+1^3, 2^~4+1^5, 2^~3+1^~7, 2^~2+1^9, 2^~1+1^11
휴~, 37가지군요.
하지만 실제로 일일이 모두 세지는 않고 그 방법의 수가 짝수 개인지 홀수 개인지 보겠습니다.
우선 한 가지 방법으로 그 짝홀을 판정해 봅니다.
한가지 표현법에 대해서 그 짝꿍이라고 할 수 있는 표현법을 만들어 봅니다.
a가 p개, b가 q개 –> (p+q)가b개, p가 (a-b)개
어차피 모두가 자연수들이기에 나타나는 자리를 바꾸어도 전혀 문제는 되지 않죠? a는 b보다 컷었고, p+q는 당연히 p보다 큰 수라서 새로운 표현법 하나를 얻었네요.
(p+q)b+p(a-b)=ap+bq=n 문제없죠?
이것을 짝-표현이라고 부르겠습니다. 몇 개 만들어볼까요?
9^~1+2^2–>3^2+1^7
3^~3+2^2–>5^2+3^1
이제 짝-표현의 짝-표현을 만듭니다.
b+(a-b)가 p개, b가 (p+q)-p개
어떤가요? 처음으로 되돌아왔죠!!
9^~1+2^2–>3^2+1^7–> 9^~1+2^2
3^~3+2^2–>5^2+3^1–>3^~3+2^2
그러면 자연수 n에 대한 표현 방법들을 그 짝표현과 묶어서 생각할 수 있습니다. 원래 표현과 그 짝표현이 서로 다르다면 서로 다른 두 표현들이 묶입니다. 그 표현들을 세면 모두 짝수 개일 것입니다. 예외가 있나요? 그렇습니다. 원래 표현과 짝표현이 일치하는 경우죠.
a=p+q, p=b, (b=p, q=a-b)인 경우입니다.
n=ap+bq=(p+q)p+pq=p(p+2q).
우리의 관심은 n이 소수일 때였습니다. 그럼 이 시점에서 n이 소수이다라는 성질을 씁니다.
p=1, q= n-1 / 2, a= n+1 / 2, b=1
정확하게 풀리면서 단 한 경우만이 있습니다.
7^~1+1^6–>7^~1+1^6
결국 어떤가요? 두 개씩 묶이고 딱 한 경우가 더 있다는 뜻이 되어 전체 방법의 수는 정확히 홀수 개겠군요.
12^~1+1^~1 2^~1+1^11
11^~1+2^1, 2^~2+1^9,
11^~1+1^2, 3^~1+1^10,
10^~1+3^~1, 2^~3+1^~7,
10^~1+1^~3, 4^~1+1^9,
9^~1+4^1 2^~4+1^5,
9^~1+2^2, 3^~2+1^~7,
9^~1+1^~4, 5^~1+1^8,
8^~1+5^1, 2^~5+1^3,
8^~1+1^5, 6^~1+1^7,
7^~1+6^1, 2^~6+1^~1,
7^~1+3^2, 3^~3+1^4,
7^~1+2^~3, 4^~2+1^~5
7^~1+1^6,
6^2+1^1, 3^~1+2^5,
5^~2+3^~1, 3^~3+2^2,
5^~2+1^3, 5^~1+2^~4,
5^~1+4^2, 3^~4+1^~1,
4^~3+1^1, 4^~1+3^3
이제 두 번째 방법으로 전체 방법의 수를 세어 봅니다.
이번에는 짝표현이 아니라 뒤집기 표현을 만들어 이용해 보겠습니다.
a가 p개, b가 q개 –> p가 a개, q가 b개 또는 q가 b개, p가 a개로 말이죠.
일단 뒤집고 큰 수를 앞으로 내세웁니다.
그러면 뒤집기의 뒤집기는 당연히 자기자신으로 되돌아오겠죠.
그런데 만약 p, q가 같은 수라면 올바른 표현이 나오지 않습니다. 우리는 현재 서로 다른 두 수를 이용한 표현 방법들을 살펴보고 있기 때문입니다. 그래서 먼저 전체 표현 방법들을 세 집단으로 나눕니다.
a가 p개, b가 q개
(1) p=q인 경우
(2) p != q 이면서 p != a 또는 q != b인 경우
(3) p != q 이면서 p = a 이고 q= b인 경우
따라서 전체 방법의 수 = (1)의 경우의 수+(2)의 경우의 수+(3)의 경우의 수입니다.
각각 살펴보겠습니다. 먼저 간단한 경우인 (1)의 경우.
ap+bq=(a+b)p=n에서 n이 소수라는 것을 떠올리면 p=1이어야 하죠. 작은 수인 b에 대해서 b=1부터 b= n-1 / 2 까지 모두 n-1 / 2인 경우 만큼이 있군요. n은 홀수여야 하니까요.
12^~1+1^~1,
11^~1+2^1,
10^~1+3^~1
9^~1+4^1,
8^~1+5^1,
7^~1+6^1,
두 번째의 경우는 두 개씩 짝지을 수 있습니다.
하나의 표현과 그 뒤집기 표현을 짝으로 묶으면 됩니다.
어떤 표현과 그 뒤집기 표현이 같아질 수 있나요?
a가 p개, b가 q개 –> p가 a개, q가 b개
안됩니다. a와 p가 다르면 이미 다르고 그들이 같으면 b와 q는 달라야 하니 같을 수 없네요.
a가 p개, b가 q개 –> q가 b개, p가 a개
a=q, b=p n=ap+bq=2pq
n이 소수니까 이 경우는 나타날 수조차 없는 경우겠네요.
1의 경우의 수는 n-1 / 2였습니다. n이 4곱하기 정수 +1 꼴의 수라는 것을 생각하면 짝수네요. (2)의 경우의 수는 어떻죠? 한 표현과 그 뒤집기 표현을 묶을 수 있으니 역시 짝수개입니다.
11^~1+1^2, 2^~1+1^11,
10^~1+1^~3, 3^~1+1^10,
9^~1+2^2, 2^~2+1^9,
9^~1+1^~4, 4^~1+1^9,
8^~1+1^5, 5^~1+1^8,
7^~1+3^2, 2^~3+1^~7,
7^~1+2^~3, 3^~2+1^~7,
7^~1+1^6, 6^~1+1^7,
6^2+1^1, 2^~6+1^~1,
5^~2+3^~1, 2^~5+1^3,
5^~2+1^3, 3^~1+2^5,
5^~1+4^2, 2^~4+1^5,
5^~1+2^~4, 4^~2+1^~5
4^~3+1^1, 3^~4+1^~1,
4^~1+3^3, 3^~3+1^4
그런데 전체 경우의 수는 홀수였습니다.
따라서 (3)의 경우가 0일 수가 없습니다. (3)에서 홀수 개의 경우, 즉 적어도 한 가지는 있어야 합니다.
다시 말해서 n = a가 a개, b가 b개 = a^2+b^2인 경우가 반드시 존재합니다. 13의 경우에는 딱 한 경우, 여기 있네요.
3^~3+2^~2=3^2+2^2
이 사람 진짜 천재죠??