이론적 의미에서 본다면 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 수가 있습니다.
무엇인지 예상하실 수 있나요?
…
0,1, pi, i, 그리고 e입니다.
순수 수학의 관점에서 보았을 때 이 수들이 왜 중요한 수들인지 이해하시겠나요?
어떤 수학자는 다음 등식을 가장 좋아한다고도 이야기하는데요…
e^ipi+1=0
수학에서 중요한 수들이 모두 들어 있는 식이기 때문이랍니다.
그중에서도 미적분에서 처음 배우는 e의 급수 표현 e=1+1+1/2!+1/3!+…증명에 대한 발표 내용입니다.
먼저 간단히 e가 등장하는 이유에 대해서 설명합니다.
1. e에 대한 설명
지수 함수중 y절편 (0,1)에서의 접선의 기울기가 1인 지수함수를 찾습니다.
y=2^x에서는 1보다 작습니다.
y=3^x에서는 1보다 큽니다.
그래서 2와 3 사이의 어떤 수에 대해서 정확히 접선의 기울기가 1이라고 생각할 수 있습니다.
대략적으로 a가 구해집니다.
이것이 우리가 교과서에 배우는 e의 정확한 정의입니다.
이제 이것을 바탕으로 정의를 조금 변형합니다.
(1+1/n)^n
그리고 새로운 공식을 하나 가져옵니다. 바로 이항정리입니다.
2. 조합과 이항정리
조합의 계산 공식과 확률과 통계에서 배우는 이항정리입니다.
(a+b)^n=nC_0a^n+…+nC_nb^n
이제 이를 이용해서 전개해 보겠습니다.
(1+1/n)^n=1+nC_1(1/n)+nC_2(1/n)^2+nC_3(1/n)^3+…
그런데 nC_r=nP_r/r!=n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))/r!이라서
nC_r(1/n)^r = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))/r! (1/n)^r
즉
=1/r! n/n(1-1/n)(1-2/n)…(1-(r-1)/n)
따라서
(1+1/n)^n = 1+1/1! +1/2! (1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…
결국
(1+1/n)^n –> 1+1/1! +1/2! + 1/3!+..
하지만 마지막으로 필요한 것이 있습니다. 과연 우변의 급수1+1/1! +1/2! + 1/3!+..가 수렴할 것인지에 대한 문제입니다.
3. 수학적 귀납법
n>=4일 때, n!>2^n
(1)n=4일 때, 4!>2^4
(2)n=k(k>=4)일 때 성립한다(k!>2^k)고 가정하면
(k+1)!=(k+1)k!>=2k!>22^k=2^k+1
그러므로 n=k+1일 때에도 성립
4. 부등호 관계와 급수의 수렴
n>=n_0일 때 0<a_n<b_n이고 합b_n이 수렴하면 합 a_n도 수렴
합 1/2^n은 수렴하는 급수이므로 합 1/n!도 수렴한다.
이상으로 e=1+1+1/2!+1/3!+…증명에 대한 발표 내용 예시입니다. 큰 틀은 이해되시죠? 뭔가 자신만의 독특한 생각이 떠올랐다면 더 좋습니다.
세부 내용을 수정하고 완성하여 발표를 준비해 보시기 바랍니다.