오늘의 이야기는 진자의 등시성입니다. 오늘은 역사에서 시작하여 약간의 위로를 한 후에 증명으로 마치겠습니다.
19세의 갈릴레오 갈릴레이는 의학을 배우라는 아버지의 뜻에 따라 피사의 의과대학에 입학하여 공부하던 중 1583년 진자의 등시성을 발견합니다. 높은 천장에 매달려 있는 등잔이 그 흔들리는 정도에 상관없이 왕복하는 데 걸리는 시간인 주기가 일정함을 발견하였습니다. 자신의 맥박을 이용하여 진자의 등시성을 발견하였지만 거꾸로 이 현상을 이용하여 맥박계를 고안해내기도 했다네요.
물리학적으로는 갈릴레이의 업적이 중요합니다. 속도와 가속도의 개념을 확립하였습니다. 특히 가속도에 대한 개념은 갈릴레이의 중요한 업적입니다. 관성이라는 말을 직접 쓰지는 않았지만 그 개념에 처음 도달한 사람이기도 하죠.
뉴턴이 거인의 어깨라는 말을 하였을 때, 갈릴레이가 중요한 한 자리를 차지하고 있었으리라는 생각은 충분히 이해하시겠죠?
뉴턴은 1675년, 아니면 1676년 2월 5일자의 편지에서 역시 영국의 과학자인 로버트 훜에게 쓴 편지에서 이렇게 말하고 있습니다. 자신은 거인의 어깨위에 서 있다고…
그런데 이 말에는 오해가 있을 수 있어서 오늘의 영상을 준비하게 되었습니다.
사실 훜은 영국의 레오나르도 다 빈치라고 불리는 인물이며 뉴턴이 유명해지기 전에 영국 과학계에서 가장 유명세를 탄 사람이기도 합니다.
훜이 1665년 1월 출판한 마이크로그라피아에 있는 그림들인데, 미시 세계의 묘사 정도로 번역할 수 있는 이 책은 현미경을 통해 본 곤충과 식물의 그림을 담은 최초의 책이었으며, 최초의 과학 베스트셀러가 된 책이었습니다. 훜은 세포라는 용어를 처음으로 사용한 사람이기도 하구요.
놀랍게도 훜은 중력의 역제곱 법칙을 처음으로 주장한 사람이기도 합니다. 뉴턴에 앞서서 말이죠. 1674년의 강연에서 훜은 다음과 같이 주장합니다.
“첫째, 모든 천체는 자신의 중심을 향하는 인력 또는 중력을 지닌…다. 두 번째 가정은 이렇다. 직접적이고 단순한 운동을 하는 모든 물체는 직선을 따라 계속 운동하려고 하지만, 실제로 여러 힘들이 가해지면 그 영향을 받아 원, 타원, 또는 복잡한 곡선 운동으로 전환될 수밖에 없다. 세 번째 가정은, 이런 인력은 그 물체가 자체의 중심에 가까워질수록 그 힘의 작용은 더욱 강력해진다.”
분명하게도 훜은 완성도가 떨어지기는 하지만 뉴턴보다 먼저 만유인력에 있어 역제곱법칙을 주장하였으며 천체의 운동이 역학적 문제임을 처음으로 밝혔습니다.
하지만 이러한 훜의 주장은 뉴턴의 프린키피아에서 철저히 무시되었습니다. 훜은 매우 분개하였으며 뉴턴과는 소송전까지 벌이기도 했습니다. 거인의 어깨라는 표현은 훜을 조롱하는 뉴턴의 표현임이 확실합니다. 평생 건강이 좋지 않았던 훜은 구부정한 자세로 왜소해 보였거든요. 7년 연상이었던 훜이 죽자, 마침 왕립학회의 회장이 된 뉴턴은 훜의 논문과 원고를 태워버렸으며, 훜의 초상화조차 방치해 놓아 여기에 보여지는 훜의 초상화도 오랜 동안 누구인지 알 지 못했다 하네요.
그래서 훜을 위로하고자 하는 의미에서 오늘의 증명에서는 훜의 대표적인 업적인 용수철에서의 훜의 법칙을 이용하여 진자의 등시성을 증명해 보겠습니다.
먼저 훜의 법칙입니다. 탄성력은 변위 엑스에 정비례하는 복원력이라는 뜻입니다.
뉴턴의 운동법칙과 결합해 보겠습니다. 미분 방정식이네요. 위치의 미분이 속도이고, 속도의 미분이 가속도니까요. 그런데 이계의 미분방정식을 푸는 것은 우리 영상의 범위를 벗어나므로 등속원운동으로부터 시작하겠습니다. 주기를 티로 하여 속도를 구할 수 있고, 속도들을 모아서 가속도를 구할 수 있습니다. 속도 벡터들이 정확히 등속원운동한다고 볼 수 있쟈나요? 티분의 이파이를 오메가라고 하겠습니다. 각속도죠. 이제 등속원운동의 그림자, 엑스 축 위에 생기는 그림자의 운동을 보겠습니다. 위치가 구해지고 속도가 구해지죠. 가속도를 구해보니 정확히 위치에 비례하는군요. 방향까지 고려하면 우리가 풀고자 하는 운동방정식과 똑같아집니다. 오메가를 이렇게 정하면 되니까 주기가 구해지네요.
이것을 이용하여 진자의 운동을 보겠습니다. 진자를 적당한 각도만큼, 너무 크지 않은 각도만큼 움직이게 합니다. 각도가 작으면 직선운동처럼 볼 수 있습니다. 일종의 복원력을 구할 수 있군요. 이것이 바로 훜의 법칙에서의 케이 역할을 합니다.
대입하니 진자의 주기가 얻어집니다. 매달려 있는 추의 무게나 진폭이라고 할 수 있는 흔들리는 각도와 관련이 없습니다. 오늘의 증명이었습니다.