i에 대하여
저번 영상에서 팩토리알 함수를 일반화했었죠? i!은 대략 이렇게 계산됩니다…. 오늘 영상에서는 복수수에 대해서 이야기해보겠습니다. 허수 단위 아이의 정체를 밝혀 보려고 합니다.
무언가 아주 기초적인 개념이나 기본적인 기호의 의미에 대해서 설명하는 영상을 만드는 것은 쉽지 않습니다. 그래서 저는 이런 종류의 영상은 만들기가 싫습니다. 스스로의 수학적인 깊이나 능력을 바로 드러내게 되거든요. 어쨌거나 시작해 보겠습니다.
수학자들이 좋아하는 건 분류와 확장이라고 하였었죠? 수학자들이 정말 좋아하는 건 창조입니다. 완전히 새로운 개념, 방법을 만들어내는 겁니다.
쉽지가 않으니까 문제겠죠? 허수는 어떻게 만들어졌을까요? 우연히 만들어졌습니다. 시작은 카르다노인 듯 합니다. 3차 방정식의 근의 공식을 완성했던 바로 그 까르다노입니다. 3차방정식입니다.
x^3-15x-4=0
조금 쉬운 방정식입니다. 근이 하나 보이나요? 그런데 이전에 만들었던 근의 공식 써 보겠습니다.
곤란한 식이 나오죠? 제곱근 -121
무의미한 식인가요? 당시의 관점에서는 완전히 무의미한 표현이었습니다. 그런데 카르다노가 생각을 바꾸었습니다.
무언가 중간 과정에 나타나는 임시적인 기호 정도를 생각하자. 하지만 그렇다고 해서 카르다노가 모든 3차 방정식을 확실하게 풀어냈던 것은 아니었습니다.
허수를 하나의 수로써 인정하고 체계적으로 다룬 사람은 카르다노와 동시대의 사람인 역시 이탈리아 수학자 라파엘 봄벨리입니다.
2+제곱근 -1를 세제곱해 봅니다. 아 아이라는 기호는 아직 발명되지 못했습니다.
(2+i)^3=2+11i
그러니까 첫번째의 세제곱근을 이렇게 정리할 수 있네요. 결국 엑스는 4라는 근이 얻어집니다. 봄벨리가 풀어냈네요. 실제 만족하는 근 맞죠?
단지 잠시 나타나는 수단 정도로만 생각했던 카르다노와는 달리 봄벨리는 허수가 3차, 4차 방정식을 푸는 과정에서 필수적이라고 생각하였고, 1572년 그가 죽자마자 출판된 책 대수학에서 복소수의 계산 규칙에 대해서 자세히 설명하고 있습니다.
무려 200년 후의 엄청난 수학자 오일러도 허수 개념에 힘들어 했습니다. 오일러는 복수수에 대한 놀라운 공식들을 만들어내고 있었지만 그가 1770년에 출판한 ‘대수학’이라는 책에는 오일러가 겪고 있는 어려움이 자세히 표현되고 있습니다.
-1의 제곱근이나 -2의 제곱근과 같은 수는 모두 있을 수 없는 수이다. 왜냐하면 … 그것은 0보다 크지도 작지도 않은 수 이다. 따라서 필연적으로 이런 수는 실제로 존재하지 않는 수라고 명백하게 단언할 수 있다.
하지만 봄벨리는 그의 책에서 허수 끼리의 곱셈을 포함한 복소수의 연산에 대해서 바로 현대의 우리들이 하고 있는 계산 방식을 정확하게 정리해 놓고 있습니다. 당시에는 심지어 음수의 계산법조차 확실하지 않은 시대였습니다. 봄벨리의 책 대수학은 음수의 계산법도 다루고 있는데, 봄벨리는 음수의 계산 방법을 다룬 책을 펴낸 최초의 유럽인이기도 합니다.
쓸모가 있다고 생각한 사람은 카르다노이며, 이미 완성을 해 놓은 봄벨리라는 수학자도 있었는데 그 후에도 오랜동안 수학자들은 허수를 수로써 인정하는데, 심지어 봄벨리조차 말이죠, 또 허수를 계산하는 데 어려움을 겪고 있었다니 역시 새로운 무언가를 만들어내고 그 무언가를 받아들여야 하는 창조는 쉽지 않습니다. 나중에 데카르트가 상상에 의한 수라는 방식으로 부르면서 허수라는 표현이 등장하였고, 오일러가 i라는 기호를, 가우스가 복소수라는 표현을 정착시켰습니다.
허구적인 수라는 표현이 마음에 들지 않는다면 다음과 같이 생각할 수도 있습니다.
특정한 다항식들의 집합을 실수 집합의 확장으로 생각한다
그러니까 실수 집합이 있습니다. 다항식을 만듭니다.
차수를 기준으로 0차의 다항식, 1차의 다항식, 2차의 다항식들이 순차적으로 쭈욱 있습니다.
여기에 기준이 되는 다항식 x^2+1을 정해 놓고 임의의 다항식을 x^2+1로 나눈 나머지를 생각합니다.
그러면 어떤가요? a+bx꼴의 나머지들이 생깁니다. 2차식으로 나누었으니까요.
놀랍게도 사칙연산이 완벽하게 가능합니다.
예를 들어 a+bx a-bx를 생각하면 … 곱셈을 계산하고 나머지를 구해볼까요?
나머지가 a^2+b^2이죠. 그러니까 0이 아닌 다항식에 대해서는 곱셈에 대한 역수가 있고, 따라서 나눗셈이 가능하다는 뜻이네요.
이것을 수로 생각합니다.
실수의 확장입니다.
요점은 뭔가요? 제곱근 -1이라는 표현이 마음에 들지 않는다 해도 실수를 확장한 더 큰 수의 집합을 분명히 만들 수 있다는 뜻입니다. 그러니까 i라는 것을 구태여 발명할 필요도 없이 다항식들의 집합에서 나눗셈에 의한 나머지로만 생각해도 실수를 뛰어넘는 더 큰 수의 집합은 충분히 만들 수 있습니다.
그렇게 만들었다 해도 뭔가 복잡하지만 분명히 수로써의 성질을 지니고 있다. 그러니까 기존의 수 개념에서 보자면 매우 복잡한 수다. 복소수의 뜻을 잘 이해하시겠죠?
실수와의 차이를 먼저 살펴보겠습니다.
가장 직접적인 차이는 바로 순서입니다. 실수는 일차원적인 수이기 때문에 일렬로 배열되어 있습니다. 자연스러운 크기 관계가 있는 거죠. 복소수는 어떻죠? 두 복소수를 부등호 관계로 비교할 수는 없습니다. 아니 정확히는 힘듭니다.
연속체인 직선은 이미 실수로 빼곡히 채워져 있기 때문입니다.
허구적인 수라는 관점은 대수적인 관점이며 작도할 수 있느냐와 관련되어 있습니다. 실제로 표현할 수 있느냐? 하지만 일직선은 실수로 가득 채워집니다. 완벽하게 채워져서 더 빈틈을 찾기는 힘들어 보입니다.
그런데 작도한다는 관점을 일차원에서 이차원으로 넓혀 보면 다릅니다. 수를 이차원적으로 나타내자. 충분히 가능합니다. 존 월리스 같은 선구자들이 있었지만 가우스가 완성하였습니다. 가우스 평면이라고 부르기도 하는 이유죠. 실수축, 허수축으로 해서 복소수를 완전히 시각화하였습니다.
기하학적으로 표현할 수 있느냐는 의미에서는 평면적인 수이며 그런 의미에서 2차원 평면을 완벽히 채우는 새로운 차원의 수 체계입니다.
정말로 허구적인 수냐?…라는 질문은 이제는 조금 구시대적 질문입니다. 일차원적이며 대수적인 관점입니다. 복소수와 복소평면은 너무나도 유용한 창조물이기 때문에 이제 현대의 대부분의 과학에서는 이 관점은 사라졌습니다. 대표적으로 모든 다항방정식은 근을 갖는다라는 대수학의 기본정리가 있습니다. 허구적이라기 보다는 얼마나 쓸모가 있느냐로 관점이 이미 오래 전에 옮겨갔습니다.
두 번째의 차이는 미적분과 관련되어 있습니다. 특히나 극한과 미분가능성에서 차이가 있습니다.
이차원적인 극한을 생각해 볼까요? 변수가 두 개인 이변수함수의 극한입니다. 일차원적인 실수에서의 극한과는 다르다. 실수에서는 단 두 방향으로만 접근할 수 있습니다. 그런데 이차원에서는 그렇지 않습니다. 360도 임의의 방향으로 접근할 수 있습니다. 그래서 극한값이 존재하는 조건은 일차원인 실수에서와는 달리 조금 까다로울 수 밖에 없겠죠?
미분도 마찬가지다. 실수 집합에서라면 두 함수를 쉽게 연결하여 새로운 함수, 연속이거나 미분 가능한 함수를 만들 수 있습니다. 한 점에서만 신경 쓰면 된다.
예를 들어 원점에서 두 함수를 연결해 봅니다. 와이는 엑스제곱과 와이는 이엑스. 연속이죠? 그런데 미분은 가능하지가 않네요. 와이는 엑스제곱과 와이는 엑스 세제곱은 어때요? 연속이고, 미분가능하네요. 두 번 미분은 되지 않지만, 함수를 바꾸면 됩니다. 여러 번 미분가능하게 만들 수 있어요.
심지어 무한 번 미분가능하게 만들 수도 있습니다. 그래서 실수에서는 한 점에서의 미분이 같아도, 그냥 같은 정도가 아니라 완전히 같다 해도, 전혀 다른 함수가 가능합니다.
그런데 복소함수를 연결하는 것은 그렇지 않다. 연결 자체가 쉽지 않습니다. 평면적인 연결을 해야만 한다. 그러니까 적어도 일차원적인 경계를 이루는 모든 점들에서 두 함수를 꿰매어야 합니다.
미분은 어떤가요? 한 점에서 미분 가능 하려면 모든 방향으로 접근했을 때의 극한이 같아야 합니다. 다행히 직각인 두 방향으로 접근하여 그 결과가 같으면 미분가능합니다.
미분 조건이 까다롭기 때문에 실수와는 달리 좋은 일도 생깁니다. 어떤 조그마한 영역일지라도 한 번 미분가능하다면 곧 한 없이 미분가능해지고, 미분이 같은 두 함수는 반드시 일치합니다. 한 번 미분가능한 함수는 반드시 무한 급수로 표현되기 때문에 이를 해석적인 함수라고 한답니다.
다양한 함수의 확장이 가능합니다. 이미 몇 개 만들어 보았었죠.이렇게 확장된 복소함수들은 과학의 각 분야에서 필수적으로 쓰이고 있습니다.
그런데 불편한 점도 있습니다. 예를 들어 실수 집합과는 달리 제곱근 함수의 정의가 조금 복잡해집니다. 실수에서는 양수라는 개념 때문에 제곱근 함수의 정의가 단순합니다. 하지만 복소수 집합에서는 양수 개념이 없어서 제곱근 함수는 본질적으로 다가함수입니다. 하나의 함수가 여러 개의 값을 나타낼 수가 있습니다. 다루는 과정에서 조심해야 하죠.
1886년 무렵 독일 베를린 자연과학대학에서 열린 강연에서 34살의 린데만이라는 젊은 수학자가 원주율 파이가 초월수라는 증명을 발표하고 있었습니다. 하지만 당대의 수학계의 거장이라고 할 수 있는 크로네커라는 80대 정수론의 대가가 외쳤습니다. 당신의 그 아름다운 증명은 도대체 무슨 소용이냐? 무리수라는 개념이 존재하지도 않는 허상일 뿐인데 왜 그런 것을 탐구해야 하는가?
바로 이 크로네커가 말했습니다.
신이 정수를 만들었고, 나머지는 모두 인간의 작품이다.
과연 허수는 인간의 작품인가요? 자연을 다루기 위한 수단으로써 사용하고 있는 수학적인 인공물일 뿐인가요? 아니면 신이 만든 작품, 그러니까 자연에 실재하는 개념이라고 볼 수 있는 신의 창조품일까요?
인간의 작품
인간의 작품이라는 관점에서는 복수수가 상당한 쓸모가 있어야 합니다. 실수에 비해서는 훨씬 더 쓸모가 있다는 얘기를 해보겠습니다.
급수를 만들어 보자. 이렇게 만든 함수를 리만의 제타 함수라고 합니다. 오일러가 시작하였습니다. 만약 실수지수라면 어떨까?
오 신기하네요.
뜬금없이 자연수로 만든 급수에 파이가 등장하니까요.
이제 변화를 시켜 볼까요? 엑스가 커질수록 지수가 커지는 것이니 제타 함수의 값은 줄어들기만 한다. 단순한 변화 양상을 보이기 때문에 특별할 게 없고, 재미도 없다. 그런데 복소지수를 생각하면 허수축 방향으로 움직일 수 있다. 새로운 변화가 생긴다. 자연수 n에 따라서 다른 변화가 생긴다. 삼각함수는 주기 함수이기 때문에 저 무한대 근처에서의 아주아주 큰 n의 값과 적당히 큰 유한한 수, 그 두 수들이 비슷한 영향을 미칠 수 있습니다. 그래서 자연수 n의 성질이 함숫값의 변화에 반영될 새로운 틈이 생기는 거죠.
간단한 함수 y=1/x이 있습니다. 이 함수를 생각하면 엑스가 0부터 1까지 변할 때, 와이의 값은 무한대부터 1까지 변한다. 완벽한 일대일 대응이다. 당연할 수도 있지만 뭔가 신기한 측면이 있지 않은가? 그러니까 이 함수를 이용하면 아주 큰 수의 영역에서 실수의 행동을 아주 작은 수에서 조사하면 된다라는 뜻이 된다….
만약에 (<<모듈러 폼>>에 대한 설명)
다음과 같은 성질을 갖는 함수를 만들 수 있다고 해보자. 이 함수는 주기 1인 주기 함수이다. 실수를 정의역으로 하는 함수나, 대표적으로 삼각함수, 복소수를 정의역으로 하는 함수나 별반 다를 상황이 없다. 그런데 하나의 성질을 더 추가해 볼까요? 이상한 성질이죠? 먼저 복소수의 역수에 -부호를 붙인 연산의 성질부터 간단히 볼까요? 와이축으로 대칭이동하고 길이가 역수가 되도록 하면 됩니다.
이 반직선은 이렇게 반원으로 옮겨지고 또 이 반직선도 반원으로, 그런데 이 원은 그냥 자기 자신입니다. 그래서 이 영역에서의 함수값들과 이 영역의 함수값들은 정확히 연동이 되어 있습니다.
차례차례 어떻게 함수값들이 연동되어 있는지를 알 수 있습니다. 엑스 축, 그러니까 실수축 근처의 영역들은 어느 부분과 연동되어 있는지 차례차례 예상할 수 있습니다.
그래서 이런 함수를 생각한다면 … 원점 근처나 실수축인 엑스 축 근처에서의 함수의 행동만을 이해할 수 있다해도 전체 범위에서의 함수를 이해할 수 있겠죠? 어느 한 부분이 복수 평면 전체에서의 함수에 대한 정보를 모두 갖고 있게 하자라는 생각은 아주 신박한 시도입니다. 복소평면과 복소수의 유용성이 잘 드러나는 군요.
신의 작품
허수는 단지 인간의 창조물에 지나지 않는 것인가요?
스티븐 호킹이 주장합니다. 허수의 시간이 존재한다고,
빅뱅 우주론에 따르면 우리 우주는 아주 작은 한 점에서 탄생하였습니다. 호킹은 우주 탄생의 상황에서는 일반상대성이론이 적용되지 못한다고 주장하였습니다. 이를 특이점 정리라고 합니다.
하지만 새로운 시간의 흐름, 허수의 시간을 상상한다면 이러한 특이점이 사라집니다. 이를 무경계 가설이라 합니다. 우주의 기원에서 허수의 시간을 가정하면 일반상대성이론이 파탄나는 특이점이 사라진다는 주장입니다.
양자역학에서 중요한 슈뢰딩거 방정식이군요.
허수 아이가 등장하네요.
방정식에 허수를 집어넣은 건 단지 슈뢰딩거의 창의적인 일탈 행위였을 뿐인가요?
자유공간에서 움직이는 전자를 나타내는 이른바 파동함수입니다.
양자역학에서 전자를 나타내는 파동함수에서 복소수의 파동이 나타납니다. 과연 무엇이 진동하는 것일까요?
관측할 수 없는 허수라구요? 하지만 허수부분이 없다면 확률에 대한 정확한 해석을 할 수가 없습니다. 파동함수는 확률이 진동하는 함수입니다. 허수 부분까지 고려한 복소수의 크기가 바로 전자를 발견할 확률을 나타냅니다.
그런데 확률이 진동한다는 생각이 도대체 말이 되는 생각인가요?
그럼 전자는 인간의 인식의 외부에 존재하는 객관적인 실체가 아니라는 이야기인가요?
허수 단위 아이가 인간의 인식 외부에 존재하는 객관적인 실체를 반영하는 존재가 아니라면
확률이라는 추상적인, 단지 인간의 인식의 수단에 불과한 그 무엇이 진동하고 있다는 생각은 도대체 어떻게 받아들여야 하는 건가요?
대수가 단지 인간의 작품일 뿐이라면 신의 작품인 기하를 이해하기 위한 수단이며 아마도 인간은 신을 완벽히 이해할 수는 없기에 새로운 대수는 끊임없이 등장하게 됩니다.
만약 대수가 신의 작품이라면 허수의 기본 단위인 아이가 나타내는 실질적인 의미, 파동함수에서 등장하는 허수의 의미가 좀 더 깊게 탐구되어야 합니다.
정보량의 관점
에서 생각해 보면; 실수만으로 충분한 정보를 담을 수 있겠냐?라는 질문과 관련되어 있습니다. 그런 관점에서 본다면 i는 하나의 추가적인 주머니이다. 더 많은 정보를 담을 수 있는 주머니.
2차원적인 수는 새롭게 만들 수 있을까요? 2차원적인 수라면 이차방정식이 만들어져야 하고, 실근을 가지면 안되니 허근이 존재하여야… 그러면 결국 2차원적인 수는 필연적으로 복소수여야 합니다.
정보량이 너무 많아 2차원적인 수로도 담을 수 없다면, 그러면 3차원적인 수를 만들어보면 어떨까요? 만약 3차원적인 수를 만든다면 새로운 제곱근 -1을 가져와야 합니다. 복소수 집합에는 대수학의 기본정리, 다항방정식은 반드시 복소수인 근으로 완벽히 인수분해된다라는 정리 때문에 실수 집합으로부터 새로운 수를 들고 오는 형식으로 확장할 수 밖에 없습니다. 그런데 그것은 아이여야 합니다. 그런데 새로운 아이여야 하죠. 새로운 아이, 이것을 제이라고 쓰겠습니다. 제이를 가져옵니다. 아이곱하기 제이를 해볼까요?
ij=a+bi+cj와 -j=iij=i(ij)를 비교하니… 모순. 그래서 3차원적인 수는 없습니다.
4차원적인 수는 가능합니다. 사원수입니다. 세 개의 수가 등장합니다. i, j, k 그래서 다음과 같이 나타내지는데, 완벽한 사칙연산이 가능합니다. 그런데 아쉽게도 수의 확장과정에서 부수적이지만 아주 큰 피해가 발생합니다. 바로 교환법칙을 포기해야만 했습니다. 이렇게 말이죠…
해밀턴이라는 수학자가 이 사원수를 발견, 아니 발명이라고 해야 하나요? 발명했을 때에는 상당히 쓸모가 있을 듯 하였지만 발명자 해밀턴의 기대와는 달리 그 이후의 수학자들은 큰 쓸모를 발견하지는 못했습니다. 그래서 현대의 대수학 교과서에는 거의 한 두 줄 소개하는 정도로 찾아보기조차 힘들답니다.
아쉽게도 크게 쓸모가 있지는 않은 듯 하니 수의 세계를 새로운 관점에서 넓히는 것이 필요합니다.
상상을 뛰어넘는 수들이 대수라는 이름 하에 등장하고 있습니다. 왜 그럴까요? 좀 더 많은 정보를 주고 싶기 때문입니다. 인간의 인식 너머에 있는 자연 현상, 미시 세계나 우주의 저 먼 곳에서 발생하는 현상들을 설명하고 예측하기 위해서는 더 복잡하고 더 많은 정보를 가진 수 체계가 필요하기 때문입니다.
오늘 영상은 여기까지로 마치겠습니다.