저번 영상에서 지수를 확장해 보았습니다. 그래서 i^i이 가능해집니다.
어떻게 할까요? 두 지수함수를 비교해 봅니다. 와이는 2의 엑스제곱과 와이는 3의 엑스제곱입니다. 사실 모든 성질은 똑같습니다. 단지 엑스축 방향으로 늘리고 줄인 관계에 있을 뿐입니다. 기준이 되는 지수함수 와이는 이의 엑스제곱과 비교하면 모두 와이는 이의 케이엑스제곱입니다. 로그의 성질을 써보니
이렇습니다.
그래서 아이의 아이제곱도 바꾸어 쓸 수 있습니다. 로그 아이를 계산할 수 있어야 하는데 제 맘대로 계산할 수는 없습니다. 뭔가 객관적인 관계식을 써야겠죠? 지수함수와 로그함수의 관계는 바로 역함수 관계이니 이의 엑스제곱이 아이가 나오는 경우를 찾습니다. 오일러 공식에 따라 구할 수 있어서 우왓!!~~ 실수가 나오네요.
확장을 통해서 더욱 새로운 관계식들을 만들어 낼 수도 있습니다. 만약 행렬에 대해서 익숙한 분들이라면 이의 에이제곱, 싸인 에이 등을 계산해 볼 수 있습니다. 놀랍게도 에이가 행렬인데 말이죠?
행렬과 수를 바로 더할 수는 없어서 약간의 조작이 추가적으로 필요하긴 한데, 이런 식도 만들어지네요.
심지어 삼각함수의 전개식에 행렬을 대입할 수도 있네요. 행렬의 싸인 값을 하나 계산해 보았습니다.
오늘은 새로운 함수를 한 가지 더 확장해 보겠습니다. 바로 팩토리알, 계승함수입니다.
예를 들어 자연수, 또는 정수 엔에 대한 함수, 와이는 엔 제곱을 실수로 확장한다, 복소수로 확장한다에 대해서는 뭔가 어리둥절하시죠? 이미 있는데 뭔소리야?
그런데 자연수에 정의된 함수기호 팩토리알이 있습니다. 이것을 실수로, 복소수로 확장한다면 어떻게 하죠? 그러니까 파이 팩토리알, 아이 팩토리알 등을 계산하는 식을 만들 수 있느냐 하는 것이 오늘의 문제입니다.
쉽지는 않겠죠? 엔 팩토리알은 1부터 엔까지의 자연수를 모두 곱한다입니다. 그러면 2분의 3 팩토리알은 1부터 2분의 3까지의 모든 실수를 곱해야 하나요?
핵심은 관계식을 찾는다는 관점에 놓여 있습니다. 팩토리알의 중요한, 그 중에서도 가장 핵심적인 관계식은 무엇일까요?
이것입니다.
이 관계식을 만족할 수 있는 함수식을 찾아봅니다. 바로 감마함수입니다.
몇 가지 확인해 볼까요?
다음으로는 두 값을 계산해 봅니다. 정확하죠?
그 결과 감마 2분의 3, 좀 헷갈리기는 하지만 2분의 1 팩토리알이라고 해석해야겠죠? 이 값을 계산해 보겠습니다.
치환적분합니다.
이중적분으로 바꾸고요,
극좌표로 바꿉니다.
2분의 루트 파이입니다. 실수 뿐만 아니라 복소수에 대해서도 그 값을 정할 수 있답니다.
이 감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용되고 있습니다. 오늘의 증명이었습니다.