갈르와의 이론을 써서 증명해 보았습니다.
너무 체계적이어서 수학자들은 매우 아름답다고 느낀다.
하지만 많은 단계와 여러 가지 개념들이 등장하면서 증명이 이루어진다.
여기에서는 단 하나의 개념 닫혀있다라는 개념만을 사용하여 증명, 정확하게는 갈르와 생각의 핵심을 제시하여 보겠다.
오차방정식 근의 공식의 불가능성에 대해서는 대략 갈르와 한 세대 전에 증명의 틀이 잡혀갔다. 갈르와의 생각이 세상에 나타나기 직전에야 완성이 되었고, 최종적으로 이를 완성한 아벨.
아벨의 정리, 아벨-루피니의 정리라고 불린다. 하지만 갈르와의 접근은 완전히 새로웠으며 천재적이다.
수집합 수체계를 확장하는 방법 – 기하학적인 방법, 대수적인 방법
방정식의 근을 이용한 수 체계의 확장 -> 사칙연산의 구조로 보았을 때, 똑같다!!
이차방정식 1, 2
삼차방정식
그렇다면 이를 표현하는 방법이 무엇이냐? 바로 함수다. 성질을 조사해 보자. 함수 집합은 똑같고 결국 근 끼리의 치환이다. 그래서 이제부터 치환이라고 부르겠다.
치환의 집합은 함수의 합성, 연달아서 해 본다, 에 대해서 닫혀 있다.
따라서 닫혀있다, 닫혀 있다의 두 집합 두 줄기의 집합이 만들어짐.
이제 수 집합의 구조를 자세히 살펴보자.
닫혀 있다라는 성질을 가진 여러 부분집합들이 존재한다.
그렇다면 치환의 집합에서는 어떠할까? 역시 닫혀 있다라는 성질을 가진 부분집합들이 존재한다.
여기에서 한 가지 생각을 더 해 보자. 두 줄기의 집합, 수 집합과 치환의 집합, 그리고 그 안에 존재하는 닫혀있다라는 성질을 가진 부분집합들 사이의 관계이다.
방법은 고정시킨다이다. 수집합에서는 그 집합의 모두 고정시키는 치환들만을 모아 놓은 치환의 집합을 생각해 보고, 치환의 집합에서는 그 집합의 모든 치환들이 고정시키는 수들만을 모아 놓은 집합을 생각한다.
예시.
놀랍게도 완벽한 대응이다. 이것이 갈르와의 생각의 핵심이다.
조금 더 파고 들어본다. 특별한 수집합을 찾아보자. 이번에는 방정식에 대해서 닫혀 있다라는 생각에 집중해 본다. 한 마디로 방정식의 모든 근을 가지고 있는 수집합이다. 이를 갈르와 집합이라고 하자.
예시.
수집합에서의 특별한 성질은 치환의 집합에서는 어떻게 표현이 될까? 과연 발견할 수 있을까?
잠시 갈르와 개인의 이야기를 해보겠다. 갈르와는 이제 목숨을 건 결투를 앞두고 있다. 사실 성장기의 불행했던 가족사를 본다면 갈르와는 자발적인, 의도적인 타살을 선택한 상황. 새벽이 되면 자신의 육체적인 존재는 사라진다고 믿고 있던 갈르와는 밤을 새워 자신의 생각을 가다듬고 다른 수학작들을 이해시키기 위한 편지를 쓰는데 집중하고 있다. 자신의 정신적 존재, 빛나는 창조물은 영원히 존재하게 만들고 싶은 욕망이 있었던 것은 아닐까요?
다시 돌아와서 이야기를 정리해 보자. 닫혀 있다는 두 개의 탑을 쌓았고, 완벽한 대응이 존재하였다.
원래 목표는 무엇? 거듭제곱근을 이용한 방정식의 풀이.
그러면 이것을 수집합의 탑으로 쌓아보자. 특히 갈르와 집합들의 탑으로 쌓아보자.
그러한 탑이 존재한다면 치환의 집합에서는 어떠한 성질이 존재해야 하나?
교환가능의 성질이다.
차례차례 교환가능이 되는 치환 집합들의 탑을 쌓아가 본다.
교환자들을 모두 모아야만 한다. 교환자를 모두 모아 집합을 만들고 이들을 이용하여 닫혀있는 집합을 만들자. 그리고 그에 대응하는 수집합을 생각하자.
드디어 에스 오라는 집합, 다섯 개의 원소로 이루어진 치환 전체의 집합은 줄여나갈 수 없다. 그래서 오차방정식의 근의 공식, 정확히는 제곱근을 이용한 근의 공식은 가능하지 않습니다.
혹시나 논리적으로 예민하신 분들을 위해서 제기될 수 있는 두 가지 질문에 대해서 대답하면서 영상을 마치겠습니다. 모두 오차방정식의 근의 공식은 정말로 불가능하냐라는 의문에서 시작하는 논리적 지적입니다.
아니 뭔 소리냐 싶은 분들도 있겠지만, 여태까지의 증명은 원리적 가능성에 대한 이야기였습니다. 전제가 있죠? 오차방정식에 대한 치환의 집합이 에스 오라면 입니다. 첫번째 질문은 바로 이것입니다. 만약 희한하게도, 아니면 신의 장난으로, 모든 오차방정식에 대해서 그 치환의 집합이 에스 오가 되는 경우가 없다면 어쩔거냐입니다. 예를 들면 엑스 오제곱 빼기 일은 0을 풀 때처럼 말이죠.
그래요, 갈르와의 이론은 근사하지만 실제 적용이 될까요? 정말로 치환의 집합이 에스오가 되는 오차방정식이 정말로 있을까요? 또 몇 가지의 근사한 공식들을 사용하면 실제로 그렇음을 보일 수 있습니다만, 여기에서는 더 이상의 이론을 쓰지는 않고 간단한 방법으로 이야기해 보겠습니다.
이제 여기에서부터 차례차례 호환 형태의 치환들을 만들 수 있답니다. 중간중간 쉽지 않은 단계들이 있지만 호기심이 생기는 분들이라면 직접 해 보시고 지적인 재미를 느껴 보시기 바랍니다.
마지막입니다. 정말로 근의 공식 자체가 불가능하냐? 아닙니다. 제곱근을 이용한 방식이, 그것도 유한한 단계를 거쳐서는 불가능하다는 뜻이죠. 무한한 단계를 허용한다면 충분히 가능하답니다.