**무한이라는 표현이 가리키고 있는 바가 단지 한 없이 크다, 다룰 수 있는 대상의 범위 안 쪽이 아닌 그 밖 다룰 수 없는 무정형의 대상을 가리키는 표현에서 분석의 대상이 되고 논증의 대상이 되면서 나타난 나비 효과에 대한 이야기, 천사와 악마 두 번째 이야기입니다.
*무한에 대해서 논리의 잣대를 들이대면서 얻어진 첫 번째 성과는 무엇이었죠? 무한에도 단계가 있다는 사실이었습니다. /실수 집합에 대한 대각선 논법이 있었고 /무한들 끼리에서도 무한한 크기의 단계를 만들 수 있다. /바로 부분집합들의 집합을 이용했었죠?/어떤 집합의 모든 부분집합들을 모아놓은 집합을 멱집합이라 한답니다.
/집합에 대한 대각선 논법에서 /굳이 이름을 붙이자면 *일종의 대각선 집합을 만들었는데 *목록이 불완전하다는 명제를 증명하면서 *다소 껄끄러운 논리가 사용되었습니다. /포함한다면 /포함하지 않게 되어 모순이고, /포함하지 않는다면 /포함해야 해서 모순이다. /어느 경우건 모순이다 /였습니다.
/칸토어의 논리 전개는 천사적인 측면이 있죠?
/다양한 논의를 통해서 두 가지의 결론을 얻어냈네요. /실수의 집합의 크기, 농도라고 부르는데요, /실수 집합의 농도는 /자연수 집합보다 큽니다. /자연수 집합의 멱집합의 농도도 자연수 집합의 농도보다 크죠? 둘 사이의 관계는 뭘까요?
/0과 1사이의 실수 전체와 자연수 집합의 멱집합의 농도를 비교해 보겠습니다. 먼저 실수를 2진법으로 나타내구요, /자연수 집합의 한 부분집합에 대응시키겠습니다. 그러니까 몇 번째 자리수가 1이면 그 몇이라는 자연수를 포함시키면서 부분집합을 만듭니다. 이렇게요.
/하지만 사소한 문제가 생깁니다. 십진법에서 나타났던 현상, 1과 0.9999…가 같다, 잘 알고 있는 사실이죠. /2진법에서도 역시 나타납니다. 다행히 해결 가능합니다. 결국은 자연수 집합의 부분집합 중 유한한 부분집합들에서만 문제가 생기는 거거든요. 그런데 유한한 부분집합들은 차례로 세어 갈 수 있으니 자연수 집합의 농도와 같습니다. *이렇게 되네요.
/거꾸로도 해봐야겠죠? 이번에는 십진법으로 돌아와서 부분집합이 어떤 자연수를 포함하면 그에 해당하는 자릿수를 3으로, 포함하지 않으면 6으로 합니다./ 이렇게 해봅니다. 그렇다면 기껏해야 0.3… 또는 0.6… 과 같은 실수 밖에 만들어지지 않죠? /결국 실수 집합의 농도가 자연수 집합의 멱집합의 농도보다 작을 수는 없다가 얻어집니다. *이미 반대쪽의 관계도 얻었기 때문에, /결국 둘의 농도는 같다는 결론에 이를 수 있습니다.
/어때요? 뭔가 논리정연하고 말끔하게 정리되어가는 느낌이죠? 칸토어는 완전한 천사를 수학에 불러들였네요. 새로운 수학적 대상을 불러 세웠고, 그 이전에는 생각할 수 없었던 새로운 관계를 찾아낼 수 있게 하였습니다. 이제 새로운 문제 제기까지 할 수 있게 되었습니다. 이런 생각을 할 수 있죠? 실수 집합의 농도는 자연수 집합의 농도보다 크죠? 그렇다면 그 두 무한 집합 사이에는 새로운 무한은 없을까요? 자연수 집합 바로 윗 단계의 무한은 실수 집합일까요? 그렇지 않을까요? *자연수 집합의 바로 윗 단계의 무한 집합이 바로 실수 집합이라는 가설을 연속체 가설이라고 합니다. 새로운 문제제기까지 할 수 있게 되었으니 칸토어는 완벽한 천사 역할을 한 것이네요.
/그런데 이러한 논리를 세워가는데 아무런 문제가 없었나요? /지난 번의 대각선논법에 대한 영상에서는 /뭔가 근본적인 문제, 논리학의 근본을 뒤흔드는 곤란한 문제들이 나타나는 듯이 소개 했었죠?
/보통 우리가 수학적인 증명을 하는 상황, 특히 귀류법을 이용하는 상황을 생각해 보겠습니다. 만약 어떤 성질의 원소 엑스가 집합 엑스에 포함되는 것을 보이고 싶다면 이렇게 하죠! 먼저 포함되지 않는다고 가정합니다. 그런데 그 가정 하에서 논리 전개를 해보니 원소 엑스가 집합 엑스에 포함되는 상황이 발생합니다. 그런 상황이라고 생각해 볼께요. 여기에서 수학자들은 모순이라고 결론을 짓습니다. 그런데 이런 상황에서도 만약 엑스가 집합 엑스에 포함된다고 가정하고 논리를 전개해 보면 보통은 특별한 일이 발생하지 않습니다. 무모순하거나 결정불가능하거나 하는 상황이 발생해서 말이죠. 그런데 멱집합에 대한 대각선 논증에서는 어찌 보면 순환적인 상황이 발생하고 있습니다. 신기하기는 하지만 꺼림칙하기도 하죠? 이 부분을 조금 더 논리적으로 정리하던가 새로운 방법으로 문제 자체가 나타나지 않게끔 해 볼 수는 없을까요?
/사실 그 논증을 살펴보면 좀 더 근본이 되는 가정이 있었습니다. 바로 일대일대응이 존재한다는 가정이었죠.* 그러한 가정 때문에 원소 엑스가 있었어야 하는거니까*이럴 수도 없고 *저럴 수도 없는 순환적인 상황이 나타났습니다. *그러니까 처음부터 이 가정을 끌어들이지 않고 시작하면 어떨까요?
/과연 악마는 존재하고 있는가? /문제의 근원을 되짚어 보기 위해서 논리를 정밀하게 만들어보겠습니다.
/대응을 만드는 데, /일대일대응이 아니라 일대일 함수 그러니까, 원소의 집합에서 부분집합의 집합으로의 대응관계를 만들었는데, 부분집합의 집합, 즉 멱집합에서는 혹시 어떤 대응하지 않은 원소, 물론 집합이겠죠? 가 남아 있을 수도 있는 상황을 생각합니다. *그리고 대각선논법의 그 집합을 생각해 봅니다.
*이 집합을 기준으로 원래 집합의 원소는 두 종류로 구분됩니다. /포함되는 원소와 포함되지 않는 원소로 말이죠. /먼저 집합 에이의 원소 중에 집합 엑스에 포함되는 원소 와이를 생각합니다. / 그렇다면 집합 엑스의 성질상 와이는 엑스 와이에 포함될 수 없죠. /두 집합은 서로 다른 거네요. /엑스에 포함되지 않는 경우는 어떻죠? / 집합 엑스의 성질상 그 원소 와이는 집합 엑스_와이에 포함되어야 하네요. /역시 엑스와 엑스_와이는 같을 수 없습니다.
*그러니까 대각선논법의 이 집합은 목록의 어디에도 존재하지 않는 거군요. 새로운 집합입니다. 결국 일대일대응은 불가능합니다. 어떠한 경우에도 새로운 집합을 찾을 수 있으니까요! /어때요? 훨씬 더 깔끔한 증명이죠? 더구나 이와 같은 증명은 수학자들이 논리적인 추론을 할 때 사용하는 가장 기본적인 원칙이라고 할 수 있는 형식논리의 기초명제들, 특히 모순율과 배중률을 전혀 건드리지 않으면서 마무리가 됩니다.
/명확한 논리가 세워지는데 /과연 악마란 존재하는 걸까요? 악마란 결국 유한에서의 논리를 무한으로 끌고 가는데 아무런 문제가 생기지 않을 것이냐에 있습니다. 칸토어는 정말로 악마를 끌어들였다고 할 수 있을까요?
/무한의 세계는 유한의 세계와는 확연히 다릅니다. 상식적으로는 이상한 일이 벌어집니다. 자연수 집합에서 순서쌍을 만든다고 해서 자연수 집합보다 큰 농도의 무한 집합이 얻어지지는 않습니다. /실수 집합에서도 마찬가지구요. 쉽게 대응을 만들어 볼 수 있습니다. /단지 수를 섞어버리면 됩니다. 거리의 개념, 연속의 개념 따윈 전혀 필요치 않습니다. 차원의 관점에서 매우 신기한 일이 아닐 수 없죠? /사실 저희는 예전 영상에서 일차원적인 선분에서 이차원의 정사각형을 채우는 그러면서도 연속인 함수를 만든 적이 있습니다. 선분을 /4등분, /16등분, /64등분,…하면서 /평면을 /채우는 /연속함수를 만들어 보았었죠? 다행인 건지 당연한 건지 이렇게 만든 함수는 일대일대응은 아닌 함수랍니다.
/하지만 차원의 개념을 무너뜨린 정도 가지고 놀라워할 필요는 없습니다. 이 정도라 하면 악마를 수학에 끌어들였다고도 할 수 없습니다. 피해가고는 싶었지만 논리의 근본을 무너뜨리는 상황은 절대 피해 갈 수 없었습니다.
*증명하지만~ *다음 영상들에서 관련된 이야기를 이어가겠습니다.