..*83*오늘 영상에서는 새로운 공리들에 대한 이야기와 더불어*실수집합을 정렬시킬 수 있을지, 그러니까 자연수 집합에서처럼 첫 원소가 항상 존재하도록 배열할 수 있는지에 대해서 이야기해보겠습니다./지난 영상에서 집합의 길이, 측도에 대해서 이야기해 보았습니다.*우리가 측도에 대해서 기대하는 자연스럽고도 당연한 성질들이 있었죠? 평행이동의 성질 /서로소인 집합들을 합쳤을 때는 각각의 길이를 그대로 더한다/심지어 무한개일때도 말이죠. 하지만 바로 이러한 성질들을 사용해 보았더니 길이를 잴 수 없는 집합을 만들수 있었죠? /실수들을 분류하였고요, 바로 차이가 유리수가 나는 실수들을 하나하나의 집합으로 모았고, 그렇게 만든 셀 수 없이 많은 집합들에서 대표를 뽑았습니다. 바로 비탈리 집합이었는데요, /그 비탈리 집합을 유리수 하나하나로 평행이동을 시키면서 / 0부터 1까지의 실수 집합을 /그대로 만들었고요 * 상수의 무한개 합이 유한하다는 모순을 얻었습니다. 어떤 문제인지 생각해 보셨나요? /측도이론?/실수체계?/아니면 비탈리 집합을 만드는 과정? 어떤 부분이 문제라면 문제, 역설이라면 역설의 근원일까요?
../집합을 구성하는 기본적인 논리, 원리를 살펴보면서 생각해 볼까요? *현대 수학, 현대 집합론의 논리체계는 체르멜로와 프렝켈로 대표되는 수학자들의 공리계에 기초하고 있는데요 간단히 ZF공리계, 지에프 집합론이라고 한답니다. 차례로 살펴보면요 / 당연한 성질들이 보이죠? 표현은 매우 알아듣기 쉽게 바꾸었답니다. /합집합과 부분집합에 대한 내용이 있구요, /치역에 해당하는 집합을 만들 수 있다는 공리도 있네요./재귀적인 집합, /그러니까 에이는 에이이다라는 식의 집합은 있을 수 없다는 공리입니다./대부분은 너무 당연하다고 생각되는 성질들이라서 딱히 우리가 생각하려고 하는 문제와는 별 관련이 없어 보이구요, 이제부터 진짜 생각해야 할 부분입니다. 모든 부분집합들을 모아놓은 집합을 만들 수 있다?/이미 바로 앞에서 나왔던 성질, 부분집합을 만들 수 있다라는 공리는 특정 성질을 갖는 부분집합을 만들 수 있다는 공리입니다. 뭔가 서술할 수 있는 성질, 참-거짓을 판정할 수 있는 명제 등이 주어져 있을 때, 그 술어 표현을 참이 되게 하는 집합을 만들 수 있다는 것이었는데, 상식적으로 받아들일 수 있으시죠? 그런데 임의의 부분집합은요?뭔가 무작위적인 부분집합을 만들어 낼 수 있을까요? 더 나아가서 모든 부분집합을 만들 수 있다라고 생각할 수 있나요? 여기에는 다른 생각을 가지신 분들도 계실거 같은데요, 그렇다고 생각하고 이것을 하나의 공리로 합니다. *이것을 멱집합의 공리라고 합니다. 하지만 비탈리 집합을 만드는 과정에서 가장 중요한 문제는 바로 대표들의 모임을 만들 수 있다는 주장입니다. 유한한 개수의 집합들이라면 몰라도 무한한 수의 집합들, 더구나 셀 수 없을만큼 많은 정도의 집합들이 주어진 상황에서 각각의 집합에서 하나씩 대표를 뽑아 그 대표들로 하나의 집합을 구성할 수 있다? 과연 가능한가요? /많은 반론들이 있지만 이것을 공리로 합니다. *선택공리라고 합니다. *현대 집합론의 공리체계에서는 아주 중요한 역할을 하는 공리입니다. 무한과 관련된 많은 명제들의 증명과 반증에 사용됩니다. 이 공리 자체에 동의하건 동의하지 않건 수학자들에게는 아주 필수적인 도구죠. / 이 공리의 시작은 칸토어입니다. 칸토어는 모든 집합은 자연수 집합처럼 배열할 수 있다고 생각했습니다. /수학적으로 정렬한다라고 표현하는데요, 그러니까 간단히 설명해 보자면 이렇습니다. 자연수 집합에는 기본적인 크기 관계가 있죠? 그 크기 관계를 기준으로 하면 모든 자연수로 이루어진 집합, 자연수 전체 집합의 부분집합이겠죠? 반드시 최소인 원소를 가집니다. 공집합이 아니라면 말이죠. /짝수 집합이라면 2가 최소네요. /하지만 벌써 정수의 집합부터 그렇지 않죠? 최소가 없는 부분집합들이 아주 많습니다. 하지만 정수집합에서라도 보통의 크기관계가 아니라 / 이런 식으로 배열해 본다면 최소가 항상 존재하게 됩니다 /예를 들어 이 집합의 최소는 음수 이군요. / 이렇게 배열했을 때 부분집합 씨의 원소 가운데 처음 등장하는 수라는 의미에서요. /칸토어는 너무 당연하지 않을까라고 생각했습니다. 하지만 동시대의 많은 수학자들은 동의하지 않았죠./사실 이와 같은 정렬 정리, 정렬 공리라고 해도 될 듯한데요, 정렬 정리는 선택공리와 동등합니다. /임의의 집합들이 있습니다. / 합집합을 만들고 정렬시킵니다./그리고 나서 각각의 집합에서 처음 등장하는 원소들을 선택합니다. 정확히 한 집합에서 하나씩 뽑을 수 있는거죠? /*거꾸로도 해볼까요?/주어진 집합 에이에서 / 정렬시킬 수 있는 집합들의 사슬을 만듭니다. 부분집합사이의 포함관계를 만드는 건데, /크기 관계가 같은 집합들의 연쇄를 만드는 겁니다. 물론 여기에서의 크기 관계는 내 맘대로 정할 수 있는 관계라서, 보통의 대소관계와는 전혀 다를 수 있답니다. /최대, 극대의 사슬을 만들었다고 가정하고 그들의 합집합을 구합니다. /전체 집합 에이일까요?/아니라면 어떤 새로운 원소 엑스 제로가 있겠죠?/그것을 합집합의 모든 원소보다 크다라고 크기 관계를 주어 더 큰 집합을 만듭니다. 최대, 극대의 사슬을 만들었다는 가정에 모순이 되는 거죠? 따라서 전체 집합 에이가 되어야 하고 처음의 전체 집합 에이는 정렬가능하다라는 결론에 이르게 됩니다. 사실 이 두번째의 논리는 선택 공리로부터 직접 정렬 정릴 증명한 것은 아니고, 초른의 보조정리라고 불리우는 주장을 사용한 것인데요, 간략하게나마 정렬 정리와 선택 공리의 등가성을 설명하는 방법이긴 합니다. /칸토어의 생각으로부터 시작된 선택공리는 당연히 가정할 수 있는 성질이라고 생각되시나요? 비록 불가능해 보이는 역설들을 내포하고는 있는 것이 확실하지만요. 그런데 더 나아가서 정렬 정리는 어떤가요? 모든 집합은 정렬가능하다라는 증명에도 불구하고 / 수학자들은 실수 집합에 대한 정렬의 예시를 아직도 만들어내지 못하고 있답니다./그래서 선택공리에 대한 다음과 같은 농담이 있답니다.*선택공리는 믿을 수 있고 /그와 등가라고 증명된 정렬 정리는 믿어지지 않구요, / 또 다른 등가 명제인 초른의 보조정리는 글쎄다… 잘 모르겠다는 거네요.*증명하지만 83*다음영상에서 이어가겠습니다.