적분과 미분이 등장했고, 기본적인 공식들이 완성되었지만 그 기초는 튼튼하지 않았습니다.
카발리에리가 제시한 분할 불가능성의 방법은 강력했지만 그 논리적인 근본에서는 의심을 받았습니다. 반대론자들은 카발리에리의 증명이 직관적일 뿐이며, 두 무한대 사이에 의미 있는 비율이 있을 수 없으므로 하나를 다른 것과 비교하는 것은 무의미하다고 주장합니다.
미분에 대해서는 더 많은 반발이 있었습니다. 곱의 미분과 관련해서 뉴턴이 다음과 같은 주장을 하고 있습니다. 여기서 모멘트는 무한소만큼의 증가분 또는 변화량이라는 뜻으로 생각합니다.
임의의 직사각형 AB가 연속적으로 변화해 증가한다고 하자. 이들의 변 A,B가 모멘트의 절반인 1/2 a와 1/2 b만큼 부족할 때, 직사각형(넓이)은 AB1 2 aB1 2 bA+ 1 4 ab 이다. 그런데 변 A,B가 모멘트의 절반만큼 더 커지면 직사각형(면적)은 AB+ 1 2 aB+ 1 2 bA+ 1 4 ab 이다. 이 직사각형에서 앞의 직사각형을 빼라. 그러면 aB+bA만큼 증가했음을 알 수 있다. 그러므로 변들이 a,b만큼 증가할 때, 직사각형은 aB+bA만큼 증가함을 알 수 있다.
뉴턴이 약간 수학적인 기교를 부렸죠? 무한소 곱하기 무한소에 해당하는 ab를 제거하기 위해서 약간의 눈속임을 보인 것인데요, 아일랜드의 철학자이자 성공회 주교인 버클리의 비판을 보겠습니다.
직사각형의 변 A,B가 각각 그들의 모멘트 a, b만큼 증가한 경우 넓이의 증가량은 (A+a)(B+b)-AB=bA+aB+ab이다. 그리고 이것은 뉴턴이 구했던 증가량보다 ab만큼 더 큰 진정한 증가량이다. … 따라서 ab가 아무리 작을 지라도 그것을 쓸모없는 양으로 취급할 수는 없다.
그리고 버클리는 뉴턴이 했던 ‘수학에서는 그것이 아무리 작은 실수라 할지라도 무시될 수 없다’라는 말을 덧붙이면서 같은 질문에 대해서 다른 답을 이끌어 내는 뉴턴의 방법이 비합리적이라고 목소리를 높였습니다. 가장 강력한 비판이 이어집니다.
그리고 이 유율은 무엇인가? 덧없는 증가의 속도? 그리고 이 같은 덧없는 증가는 무엇인가? 그것들은 유한한 양도 아니고 무한히 작은 양도 아니며, 아무것도 아니다. 우리는 그것들을 사라진 양들의 유령이라고 부를 수 있지 않은가?And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?
과연 그 기초는 튼튼하였나? 전혀 그렇지는 않았습니다. 무한을 수학의 주제로 처음 다루면서 수학자들은 많은 어려움을 겪었습니다. 그 어려움들을 살펴보면서 1=2라는 완벽한 증명을 보이겠습니다. 그란디의 급수라고 알려진 문제입니다.
0인가요? 1인가요? 1/2이라는 주장도 있었네요. 좀 더 그럴 듯하게 주장할 수도 있습니다.
등비급수1/1+x = 1-x+x^2-x^3…에 x=1을 대입함으로써 1/2을 얻습니다. 그럴 듯 하기도 하죠?
라이프니츠는 처음에는 이런 계산은 얼토당토 않다고 생각했지만 결국에는 다음과 같이 주장하며 받아들였습니다.
n이 커질 때 짝수인 경우와 홀수인 경우가 반반이다. 따라서 확률적인 의미로 접근하여 1/2로 하여야 한다.
그러면서 수학에는 생각보다 많은 수학적이라기보다는 형이상학적인 진리들이 있다고 주장하였습니다.
오일러 역시 1/2이 된다는 주장을 받아들였습니다. 더 나아가 다음과 같은 주장을 하였네요.
1/1-x = 1+x+x^2+x^3+…
1+2+4+8+…=-1
한 발 더 나아가서
반대론자들이 보기에는 양수들을 더해서 음수에 이른다는 생각이 매우 황당해 보이겠지만… 0보다 작은 값이 동시에 무한대보다 크다는 생각은 진실에 부합하며 심지어 1-2=-1로 계산되는 음수 1과 양의 무한대의 합으로써의 -1을 구분해서 이해해야 한다고 까지 주장합니다.
However, it seems in accord with the
truth if we say that the same quantities which are less than zero
can be considered to be greater than infinity.
수학자들은 무한을 다루고는 있었지만 미적분이 등장한 지 꽤 오랜 동안 혼란을 겪고 있었습니다. 그 혼란을 이용하여 위대한 식 1=2를 증명해 보겠습니다.
이미 앞에서 써 보았던 등비급수에 대한 식입니다. 이 식을 적분해 보겠습니다. 정확하게 하기 위해서 등비수열 합 공식을 쓰겠습니다.
양변을 적분합니다.
ln2 = 1-1/2+1/3-1/4+/5-1/6…
덧셈 한 개와 뺄셈 두 개씩 차례로 묶어보겠습니다.
1/2n-1 – 1/4n-2 – 1/4n = 1/4n-2 – 1/4n
2=1. 완벽하네요. 증명하지만 믿을 수 없나요?