접선을 그어보겠습니다. 원뿔 곡선에 그어볼께요. 정확히 작도할 수 있는 방법은 무엇일까요? 사실 각의 이등분선입니다. 포물선은 무엇이죠? 초점과 준선에 이르는 거리가 같은 점들의 자취죠. 초점, 준선에 이르는 선을 이등분하면 접선입니다. 타원도 마찬가지죠. 타원은 두 초점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 자취입니다. 두 초점과 연결하는 선을 이등분하는 선이 접선입니다. 쌍곡선도 비슷한데요.
포물선에서 증명 해 볼까요? 만약 접선이 아니라고 가정하면 어떤가요? 어느 쪽에선가 또 한 번 만나야 할 텐데, 앞쪽에서 만난다면… 합동 조건에 거스르는 일이 벌어지네요. 오직 한 점에서만 만나는 선, 접선입니다. 타원은 어떤가요? 만약 각의 이등분선이 타원과 한 번 더 만난다면 …. 역시 삼각형의 성질에 위배됩니다. 밑변의 길이와 나머지 두 변의 길이의 합이 같네요.
그런데 이와 같은 접선의 작도는 완전히 기하학적이죠? 접선 찾기는 원뿔 곡선의 특별한 성질에 의존하고 있습니다. 그런데 곡선마다 이런 성질을 다 조사해야 하나요?
기하학적이지 않은, 순수히 대수적인 수식으로 표현되는 함수들에 대해서는 어떻게 접선을 구할 수 있을까요? 새로운 시대에 알맞는 새로운 생각이 필요했습니다. 페르마가 다소 이상한 방식의 생각을 표현하였습니다.
최댓값과 최솟값 연구방법(Methodus ad disquirendam maximam et minimam)이라는 페르마의 라틴어 논문이 1636년 무렵에 프랑스의 친구들 사이에서 회람되고 있었습니다. 여기에는 여러 가지 미분 개념이 다루어지고 있는데, 특히 접선 부분에 대한 페르마의 생각을 엿보겠습니다. 현대의 우리가 알기 쉽게 조금 변형하여 설명하겠습니다.
우선 포물선의 방정식은 이렇게 만들어 보았었구요, 현대적으로 이야기하면 와이제곱은 4피엑스입니다. 그리고 하나 더요, 조금 전에 구했던 접선의 성질입니다. 그러니까 접선이 축과 만나는 점은 거리가 같은 점이군요. 페르마는 바로 이것을 설명하고 있습니다.
페르마가 설명하고 있는 그림입니다. 엑스축의 방향이 반대로 되어 있다고 생각하면 됩니다. 접선을 긋고 길이를 정했습니다. 포물선의 방정식으로부터 와이제곱은 엑스와 비례하니까 비례식이 하나 얻어지는군요. 점 오 프라임은 포물선 위의 점이고, 점 오는 접선 위의 점이라서 포물선 밖에 있습니다. 그래서 비율이 약간 크죠? 그리고 접선에서의 닮음으로부터 그림과 같은 부등식이 얻어집니다.
여기에서 페르마는 근사적 동등성이라고 옮길 수 있는 용어를 들고 나오고 있습니다. adaequalitas, adaequare
그림에서의 CI의 길이, 즉 이가 아주 작은 값이라서 가능한 이야기겠죠?
이 용어는 디오판투스에게서 빌려 온 말인데 미분에 대한 자신의 생각에 근거를 제공하기 위해서 사용하였습니다. παρισότης (parisotēs)
아주 아주 작은 양을 나타내는 이로 나누는 과정이 있구요,
이제 마지막으로 e가 포함된 항을 제거하는 과정이 있네요. 2디는 에이가 얻어집니다. 바로 원하는 결과입니다. 더 나아가 페르마는 다음과 같은 자신감을 표현하고 있습니다. “이 방법은 결코 실패하지 않는다”고 말이죠.
데카르트는 격렬하게 비판했지만 약 한 세대 뒤에 그렇게 생각하는 천재들이 또 나타났습니다. 바로 뉴턴과 라이프니츠입니다. 페르마는 무한히 작은 양이라는 표현을 대놓고 내세우지는 않았습니다. 암묵적으로 주장하였죠.
뉴턴은 유율이라는 용어를 내세우며 아주 아주 작은 양에 대한 적극적인 주장을 펼칩니다. 뉴턴이 유율법의 아이디어를 처음 고안한 것은 1665년, 뉴턴이 수학을 연구한 지 1년밖에 되지 않은 23세 시절이었다고 하네요.
기본적인 계산은 페르마와 같습니다. 아주 작은 변화를 생각합니다. 그들 사이의 비율을 구합니다. 그리고 그 비율 계산 후에 남은 아주 작은 양들은 과감히 제거합니다.
유율의 기본적인 계산 단계를 명확히 이해하시겠죠? 뉴턴은 아주 작은 양을 나타내기 위해서 오미크론이라는 그리스 문자를 사용하였습니다.
예를 들어 함수 와이는 티 제곱을 미분해 볼까요? 뉴턴의 표현대로 라면 유량 와이에 대한 유율을 구해 봅니다.
기호의 사용에 있어서는 라이프니츠가 훨씬 정교했습니다.
라이프니츠의 기호를 이용하여 가장 간단한 미분 공식을 증명하면서 오늘의 증명을 마치겠습니다.