미적분학의 기본정리
기초는 조금 빈약했습니다. 파고들수록 어려움이 나타났습니다. 뉴턴도 포기했습니다. 많은 수학자들은 정확한 근거를 세우기보다는 결과가 더 중요하다는 입장을 나타냈습니다. 달랑베르는 학생들을 가르치면서 말했습니다. “그냥 계속해, 믿음은 저절로 따라오게 될 거야”.(“keep working, faith will come later“.)
조금의 진보는 있었습니다. 무한을 수학의 무대에 본격적으로 끌어들여 토론의 대상으로 올려놓은 사람은 갈릴레이입니다. 바퀴의 역설에서 잠시 소개한 적 있죠?
하지만 갈릴레이의 양이 없는 무한소 개념을 뚸어 넘어 그와는 근본적으로 다른 무한소, 무한대의 개념을 제시한 이들이 바로 뉴턴, 라이프니츠입니다. 라이프니츠는 수학은 양을 다루는 과학이고 따라서 무한소와 무한대도 양을 가지는 값으로 이들도 수학자가 엄밀한 방법으로 다룰 수 있어야 한다고 강조하였고, “무한소량이란 임의의 주어진 양보다는 작으나 0보다는 큰 양이다. 마찬가지로 무한대양은 어떤 주어진 양보다 큰 양이다.”라고 이야기하였습니다. 또,
유한값+무한대=무한대
유한값+-무한소=유한값
유한값*무한소=무한소
등등의 계산법을 제시하였습니다. 하지만 엄밀한 증명은 없었고, Leibniz: De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis
이러한 라이프니츠조차 무한대, 무한소 등의 사용은, 그의 말 그대로 옮기자면, 단지 유용한 허구”useful fictions” 라고 표현하였습니다.
그런데 이미 수학자들은 경험이 있었습니다. 유용한 허구를 사용하여 훌륭한 결과를 얻어낸 적이 있으니까요. 카르다노 있죠? 3차방정식의 근의 공식을 발견한 카르다노, 3차방정식을 풀어볼까요? 오늘의 주제는 아니기 때문에 아주 간단한 예를 들고 왔습니다. 근이 바로 보이죠. x^3-3x=0. 그런데 3차 방정식의 근의 공식을 사용하면 어떻게 되나요? 제곱근 기호 안에 음수가 등장하네요. 이미 허수가 익숙한 우리에게는 별 문제가 되지 않지만 당시로써는 할 수 없는, 아니 하지 말아야 할 계산이었습니다. 하지만 카르다노는 그냥 그렇게 썼습니다. 세제곱근 기호 밖으로 -기호를 빼면 0이라는 근이 나오죠? 이 시기는 음수인 근, 심지어 음수인 계수조차 제대로 받아들이지도 못하던 시기였습니다.
미적분의 선도자들이 제대로 된 근거를 만들어내지 못하고 있었기에 비판론자들의 목소리는 더욱 커질 수 있었습니다.
특히 미분의 계산에서는 무한소의 2차 이상의 항들, 그러니까 비율을 구하고 난 뒤에 남게 되는 무한소 항들을 제거하는 행위에 대해서 비판의 핵심 목표로 공격해 나갔습니다. 현대적인 표현을 빌리자면 무한소량들로 남아있는 정보들을 한꺼번에 제거하였음인데…. 등호의 엄밀하지 않은 사용을 집중적으로 파고들었습니다. 결국 문제는 이거겠죠? 남아 있는 무한소량들을 제거함으로써 얼마만한 정보가 사라질 것인가? 사라지는 정보의 양은 과연 욕조물을 버리면서 욕조 안의 아기까지 버리는 결과 정도가 될까요? 공격자들은 적극적이었지만 수비하는 측에서는 이렇다 할 답변은 내놓지 못하고 있는 상황이 계속되었습니다.
만약 무한소 해석에 대한 정확한 논리적 근거까지는 제시하지 못한다 하더라도 미적분의 선구자들을 구원할 방법이 있다면 그것은 무엇일까요?
다름 아닌 미적분학의 기본 정리입니다.
이 놀라운 정리의 내용을 먼적 간단히 설명하겠습니다.
적분은 넓이의 계산, 미분의 변화율의 계산 또는 간단히 기울기의 계산입니다.
넓이와 변화율, 넓이와 기울기라는 서로 다른 두 개념들은 도대체 무슨 관련이 있나요? 어떻게 연결이 되는 걸까요?
지금의 우리는 이미 수백 년 동안의 토론의 결과를 배우고 있습니다. 그래서 미분, 미분의 반대=적분, 그런데 적분은 넓이네 라는 방식으로 무조건 반사적으로 생각합니다.
하지만 역사적으로는 서로 다른 두 개념 사이의 연관이 그렇게 쉽게 얻어지지는 않았습니다. 오늘의 증명에서는 과연 그러한지를 당시의 수학자들의 관점이 되어 그들의 방식대로 생각하고 논리를 만들어보도록 하겠습니다. 그러니까 미분 공식의 뒤집기로써의 적분 공식 확인 정도가 아니라 적분 고유의 계산과 미분 고유의 계산을 통해 이 둘의 계산이 서로 역의 관계에 있음을 보이겠습니다.
원의 방정식입니다. 적분합니다. 적분 고유의 뜻이 넓이니까 넓이를 구합니다.
그림에서처럼 각도를 쎄타라 정하고, 넓이를 구할 수 있습니다. 부채꼴과 삼각형의 합으로 구해지죠?
여기에서 각도 쎄타를 엑스로 나타내고는 싶지만 그렇게 하면 고등학교 과정을 바로 넘어서 버리니 이대로 만족하기로 하겠습니다. 이제 미분합니다.
만약 이렇게 부등호를 만들어 순간 변화율을 얻는다면 완전 교과서적이죠? 하지만 최대한 미적분의 선도자들이 했던 방식으로 생각하고 싶으니 넓이 함수를 직접 미분하는 방법을 생각하겠습니다.
각도 함수를 미분하기 위해서 그림을 이용합니다.
곱의 미분을 위해서 뉴턴과 라이프니츠의 설명을 빌려와서 하겠는데, 제곱근 함수 부분은 조금 더 복잡하군요. 제곱을 해서 등호가 성립하게끔 정하면 이렇게 되네요. 그러니까 근사적 동등성이죠, 무한소의 이차항들은 모두 제거한 상태에서의 등호입니다.
이제 미분 결과를 정리하면 미분이 완성입니다. 원하는 결과가 얻어지네요.
미분의 개념과 미분의 고유한 계산, 적분의 개념과 적분의 고유한 계산, 겉보기에는 관련성을 찾기 힘든 미분과 적분이 서로 역의 연산 관계에 있다는 놀라운 발견이 미적분 기본정리의 진정한 뜻입니다. 비판론자들은 무한소항을 제거함으로써 많은 정보가 사라지리라고 파고들었지만, 이제 반박할 수 있습니다. 적분을 통해서 미분 과정에서 사라진 정보들을 완벽하게 복원할 수 있습니다. 아니 미분 과정에서 사라지는 정보가 있다구요? 하지만 겨우 상수항 정도입니다. 다른 정보는 완벽하게 복원됩니다. 복원될 수 있다는 말의 뜻은 보존된다는 뜻이겠죠? 이제 우리는 미적분학의 기본정리를 통해 창시자들을 평안하게 만들 수 있습니다.
오늘의 증명이었습니다.